3.1.3 函数的奇偶性第 1 课时 函数的奇偶性 1. 函数的奇偶性前提 函数 f(x) 定义域 D 内的任意一个 x ，都有 -x∈D ，条件且 f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x)结论 则称 y=f(x) 为偶函数 则称 y=f(x) 为奇函数【思考】函数的奇偶性定义中，“对于定义域 D 内任意一个 x ，都有 -x∈D” ，那么奇偶函数的定义域有什么特征？提示：奇偶函数的定义域关于原点对称 .2. 奇偶函数的图像特征(1) 函数是偶函数图像关于⇔y 轴对称；(2) 函数是奇函数图像关于原点对称⇔.【思考】(1) 如果奇函数在原点处有定义，则其图像有什么特征？提示：图像过原点，即 f(0)=0.(2) 有没有一个函数既是奇函数，又是偶函数？提示：有 . 如 f(x)=0 的图像为 x 轴，即关于 y 轴对称，又关于原点对称，因此既是奇函数，又是偶函数 .【素养小测】1. 思维辨析 ( 对的打“√”，错的打“ ×”)(1) 奇函数的图像一定过原点 .( )(2) 如果定义域内存在 x0 ，满足 f(-x0)=f(x0) ，函数 f(x) 是偶函数 .( )(3) 若对于定义域内的任意一个 x ，都有 f(x)+f(-x)=0 ，则函数 f(x) 是奇函数 . ( )提示： (1)×. 不一定，如函数 f(x)= .(2)×. 不符合定义，必须对于定义域内的任意一个x 都成立 .(3)√. 若 f(x)+f(-x)=0 ，则 f(-x)=-f(x).1x2. 下列图像表示的函数具有奇偶性的是 ( )【解析】选 B.B 选项的图像关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性 .3. 若 f(x) 为 R 上的奇函数，且 f(2)=3 ，则 f(-2)=________. 【解析】因为 f(x) 为 R 上的奇函数，所以 f(-2)=-f(2)=-3.答案： -3类型一 函数奇偶性的判断【典例】 1. 函数 f(x)= -2x 的图像关于( )A.y 轴对称B. 坐标原点对称C. 直线 y=-x 对称D. 直线 y=x 对称13x2. 判断下列函数的奇偶性： 世纪金榜导学号(1)f(x)=|2x-1|-|2x+1|.(2)f(x)= 221xx00x0x1x0.－ ，，， ＝ ，－ ，【思维 · 引】 1. 先判断函数的奇偶性，再判断图像的对称性 .2. 根据函数奇偶性的定义判断 .【解析】 1. 选 B. 函数的定义域 A={x|x≠0} ，所以 x∈A 时， -x∈A ，且 f(-x)=- +2x=- =-f(x) ，所以 f(x) 为奇函数，故图像关于坐标原点对称 .1(2x)3x 13x2.(1) 因为 x∈R ， f(-x)=|-2x-1|-|-2x+1|=-(|2x-1|-|2x+1|)=-f(x) ，所以 f(x) 是奇函数 .(2) 方法一：作出函数图...
