§2 立体几何 [考情解读] 从近两年的高考试题来看，利用空间向量证明平行与垂直，以及求空间角是高考的热点，题型主要为解答题，难度属于中等偏高，主要考查向量的坐标运算，以及向量的平行与垂直的充要条件，如何用向量法解决空间角等，同时注重考查学生空间想象能力、运算能力． 预测 2012 高考仍将以用向量证明平行与垂直，以及利用向量求空间角为主要考点，重点考查向量的数量积、空间想象能力、运算能力等． 分类突破 热点一 平行与垂直的证明 例 1 已知正六棱柱 ABCDEF－A1B1C1D1 E1F1 的所有棱长均为 2，G 为 AF 的中点． (1)求证：F1G∥平面 BB1E1E； (2)求证：平面 F1AE⊥平面 DEE1D1； (3)求四面体 E－GFF1 的体积． [规范解答示例] (1)证明 因为 AF∥BE，AF⊄平面 BB1E1E，BE⊂ 平面 BB1E1E， 所以 AF∥平面 BB1E1E， 同理可证，AA1∥平面 BB1E1E， 又因为 AF∩AA1＝A， 所以 AA1F1F∥平面 BB1E1E， 又 F1G⊂ 平面 AA1F1F，所以 F1G∥平面 BB1E1E. 5 分 (2)证明 因为底面 ABCDEF 是正六边形，所以 AE⊥ED， 又 E1E⊥底面 ABCDEF，所以 E1E⊥AE. 7 分 因为 E1E∩ED＝E，所以 AE⊥平面 DD1E1E， 又 AE⊂ 平面 F1AE，所以平面 F1AE⊥平面 DEE1D1. 9 分 (3)解 因为 F1F⊥底面 FGE， 所以 13S△GEF·FF1＝13×12×1×2sin 120°×2 ＝ 33 . 12 分 GFEFGFFEVV11[易错提醒] 在利用判定定理或性质定理证明平行或垂直关系时易失误的地方是解答步骤中忽视了每个定理成立的条件，如(1)中直接写 AF∥BE⇒ AF∥面 BB1E1E，而漏掉定理中成立的条件，(AF⊄面 BB1E1E，BE⊂ 面 BB1E1E)，造成不应有的丢分． 热点二 立体几何中的空间角问题 例 2 正三棱柱 ABC－A1B1C1 的所有棱长都为 2，D 为 CC1 的 中点，求二面角 A－A1D－B 的余弦值． [规范解答示例] 解 如图，取 BC 的中点 O，连接 AO. △ABC 为正三角形，∴AO⊥BC. 在正三棱柱 ABC－A1B1C1 中，平面 ABC⊥平面 BCC1B1， ∴AO⊥平面 BCC1B1. 2 分 取 B1C1 的中点 O1，以 O 为原点，OB→ ，OO1→ ，OA→ 的方向为 x、y、z 轴的正方向建立空间直角坐标系， 则 B(1,0,0)，D(－1,1,0)，A1(0,2， 3)，A(0,0， 3)，B1(1,2,0)， 设平面 A1AD 的法向量为 n＝(x，y，z)． AD→ ＝(－1,1，－ 3)，AA1→ ＝(0,2,0)． n⊥AD→ ，n⊥AA1→...
