数列通项公式的求法湖北省南漳县高级中学 孙波 邮编 441500作为高考重点内容之一的数列，其中求数列的通项公式是考查数列知识的最基本题型编者根据平时的教学积累，结合近几年高考试题，总结了有关数列通项公式的求法。一、定义法1、等差数列的通项公式为2、等比数列的通项公式为例 1：[2008 年辽宁]在数列、中，，，且， ，成等差数列， ，，成等比数列（）（1）求、、及、、，由此猜测：、的通项公式，并证明你的结论。出题者意在考查学生从特殊到一般，归纳→猜想→论证的思维过程。此题也可直接证明。易求：、，，，，，并且知＞0，＞0。证明：由题意知： ∴ ∴∴ ∴∴数列是以为首项，公差的等差数列。∴ ∴∴练习：[2008 福建]已知函数（1）该是正数组成的数列，前几项和为，其中，若点，在函数的图像上，求证：点也在的图像上。二、利用公式 ，此公式的应用要注意验证是否符合时的通项例 2：[2008 年湖北]数列中， 是前几项和，若，，求的通项公式。1（n=1）（n≥2）解：当时， ∴是从第二项开始以为公比的等比数列。∴ ∴ ，即 注：①此题易忽视中 n 的范围，误认为 n≥1而 ②结论易误为 ，练习 1：已知正项数列满足，求的通项公式。练习 2：[2008 全国Ⅱ]设数列的前 项和为，已知，。（1）该，求数列的通项公式。（2）若，，求 的取值范围。三、累加法：形如，是 的函数。由递推公式得： …… 将以上个等式左右两边分别相加得，，即，求和即得。例 3：[2008 年天津]，已知数列中，，，则= 。解：由题意，得 累加得： ∴ …… ∴2（n=1）（n≥2）（n=1）（n≥2） ∴ 练习：1、[2009 湖北] 102、[2009 全国Ⅰ]在数列中，，。（1）设，求数列的通项公式。四、累乘法：形如，是 的函数。由递推公式得： …… 将以上个等式左右两边分别相乘得：即：例 4：[2008 年天津]在数列与中，，，数列的前几项和满足，为与的等比中项，（1）求的值。（2）求数列与的通项公式。解：（1）易求，。 3 （2）当时，∴即∴ …… 将以上个等式左右两边分别相乘得∴ 又 ，满足上式。 ∴ 的通项公式求法略。注：① 的变化范围；②要验证：、是否符合。练习：已知数列满足，，则数列的通项＝ 。五、利用递推公式构造新数列1、形如：（为不等 的常数，），通过待定系数法构造为，转化为等比数列。（※）4例 5：[2007 全国Ⅱ]设数列的首项，，， ， ……（1）求的通项公式解：由题意知： ，∴∴数...
