第二十八章 圆 学习新知检测反馈28.4 垂径定理 九年级数学上 新课标 [ 冀教 ]学 习 新 知 赵州桥是我国隋代建造的石拱桥 , 距今约有1400 年的历史 , 是我国古代人民勤劳和智慧的结晶 . 它的主桥拱是圆弧形 , 它的跨度 ( 弧所对的弦的长 ) 为 37.4 m, 拱高( 弧的中点到弦的距离 )为 7.2 m, 你能求出赵州桥主桥拱的半径吗 ?( 结果保留小数点后一位 )在自己课前准备的纸片上作图 :1. 任意作一条弦 AB.2. 过圆心 O 作弦 AB 的垂线 , 得直径 CD 交 AB 于点 E.3. 观察图形 , 你能找到哪些线段相等 ? 哪些弧相等 ?4. 沿着 CD 所在的直线折叠 , 观察有哪些相等的线段、弧 .5. 图形中的已知是什么 ? 你得到的结论是什么 ? 你能写出你的证明过程吗 ?如图所示 , 在☉ O中 ,CD 为直径 ,AB 为弦 ,且 CD⊥AB, 垂足为 E. 求证 AE=BE,,.ADBD ACBC证明 : 如图所示 , 连接OA,OB.在△ OAB 中 , OA=OB,OE⊥AB,∴AE=BE,∠AOE=∠BOE. .ADBD ∠AOC=180°-∠AOE,∠BOC=180°-∠BOE,∴∠AOC=∠BOC. .ACBC垂径定理 : 垂直于弦的直径平分这条弦 , 并且平分这条弦所对的两条弧 .几何语言 :在☉ O 中 ,CD 为直径 ,CD⊥AB,,.ADBD ACBC∴AE=BE,垂径定理的推论如图所示 , 在☉ O 中 , 直径CD 与弦 AB( 非直径 ) 相交于点 E.【思考】(1) 若 AE=BE, 能判断 CD 与 AB 垂直吗 ?ADBDACBC 与 ( 或 与 ) 相等吗 ? 说明你的理由 .(2) 若 = ( 或 = ), 能判断CD 与 AB 垂直吗 ?AE 与 BE 相等吗 ? 说明你的理由 .BCACBDADADBDACBC解 :(1)CD⊥AB, ( 或 ).理由是 : 连接 OA,OB, 如图所示 , 则△ OAB 是等腰三角形 , AE=BE,∴CD⊥AB.由垂径定理可得 ,.ADBD ACBC(2)CD⊥AB,AE=BE. 理由是：ADBD ,∴∠AOD=∠BOD,又 OA=OB,OE=OE,∴△AEO≌△BEO,∴∠AEO=∠BEO,AE=BE,∴CD⊥AB.追加思考 :(1) 垂径定理中的条件和结论分别是什么 ? 用语言叙述 .(2) 上面思考 (1)(2) 中的条件和结论分别是什么 ?(3) 如果不要求“弦不是直径”上述结论还成立吗 ?ADBD在☉ O 中 , 设直径 CD 与弦 AB( 非直径 )相交于点 E. 若把 AE=BE,CD⊥AB, 中的一项作为条件 , 则可得到另外两项结论 . ( 教材 164 页...
