二项式定理与数学归纳法（理独）题八专[江苏卷 5 年考情分析] 本专题在高考中基本年年都考，并以压轴题的形式考查．主要常考的类型有：考查计数原理与数学归纳法(2015年T23、2018年T23)，考查组合数及其性质结合考查运算求解和推理论证能力(2016年T23)，考查概率分布与数学期望及组合数的性质(2017年T23)，同时加强对二项式定理的考查(2019年T22)，考查学生的运算求解能力，难度一般． 近几年高考对组合数的性质要求比较高，常与数列、集合、不等式、数学归纳法等知识交汇考查． 计数原理与二项式定理一讲第计数原理的应用题型 ( 一 ) 主要考查两个计数原理在集合或数列中的应用. [典例感悟] [例1] (2018·江苏高考)设n∈N *，对1，2，…，n的一个排列i1i2…in，如果当sit，则称(is，it)是排列i1i2…in的一个逆序，排列i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数．例如：对1，2，3的一个排列231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列231的逆序数为2.记fn(k)为1，2，…，n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数． (1)求f3(2)，f4(2)的值； (2)求fn(2)(n≥5)的表达式(用n表示)． [解] (1)记τ(abc)为排列abc的逆序数，对1，2，3的所有排列，有 τ(123)＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3， 所以f3(0)＝1，f3(1)＝f3(2)＝2. 对1，2，3，4的排列，利用已有的1，2，3的排列，将数字4添加进去，4在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此f4(2)＝f3(2)＋f3(1)＋f3(0)＝5. (2)对一般的n(n≥4)的情形，逆序数为0的排列只有一个：12…n，所以fn(0)＝1. 逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)＝n－1. 为计算fn＋1(2)，当1，2，…，n的排列及其逆序数确定后，将n＋1添加进原排列，n＋1在新排列中的位置只能是最后三个位置． 因此fn＋1(2)＝fn(2)＋fn(1)＋fn(0)＝fn(2)＋n. 当n≥5时，fn(2)＝[fn(2)－fn－1(2)]＋[fn－1(2)－fn－2(2)]＋…＋[f5(2)－f4(2)]＋f4(2)＝(n－1)＋(n－2)＋…＋4＋f4(2)＝n2－n－22，因此，当n≥5时，fn(2)＝n2－n－22. [方法技巧] (1)深化对两个计数原理的认识，培养“全局分类”和“局部分步”的意识，并在操作中确保：①分类不重不漏；②分步要使各步具有连续性和独立性. (2)解决计数应用题的基本思想是“化归”，即由实际问题建立组合模型，再由组合数公式来计算其结果，从而解决实际问题． [演练冲关] (2...
