1 专题 10《平移》破解策略经过平移, 对应线段平行 (或共线) 且相等; 对应角相等; 对应点所连结的线段平行(或共线) 且相等; 平移前后的图形全等.平移是几何中的一种重要变换,运用平移可以将分散的线段、角或图形汇集到一起,也可以把不太明朗的关系明朗化.通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法,其中,通过平移构造辅助线比较线段大小的常见类型有:(1)比较两条线段的大小关系,可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较,也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边,再利用三角形三边关系比较大小;(2)比较三条线段的大小关系,可以把三条线段平移到同一个三角形中,再利用三角形三边的关系来比较大小;(3)比较四条线段的大小关系,可以转化成“飞镖形”或“8”字形(如图)来比较线段的大小关系.例题讲解例 1 已知:在ABC中, P为 BC边的中点.(1)如图 1,求证:()12APABAC ;(2)延长 AB至点 D,使得 BD=AC,延长 AC至点 E,使得 CE=AB,连结 DE.①如图 2,连结 BE,若BAC=60,请你探究线段BE与 AP之间的数量关系.写出你的结论,并加以证明;②请在图 3 中证明:12BCDE .ABDCAB+AC>BD+DCOABCDAD+BC>AB+CD 2 证明( 1)如图 4,延长 AP至点 F,使得 PF =AP,连结 BF.易证APC≌FPB,所以 AC=BF.从而 AB+AC=AB+BF>AF,即()12APABAC .(2)① BE=2AP.证明如下:因为 BD+AB=AC+CE,BAC=60,所以ADE为等边三角形.如图 5,在 DE上取一点G,使得 DG=DB,连结 BG,则BDG为等三角形.连结 CG,PG,则四边形ABGC为平行四边形,所以点A,P,G共线,故 AG=2AP.易证DGA≌DBE.则 BE= AG=2AP.PABC图 1 PCBADE图 2 PEDABC图 3 PCBAF图 4 PEDABCG图 5 3 ②如图 6,过点 C作 CH∥AB,且 CH=BD,连结 DH,HE.则四边形 BDHC为平行四边形,易证ABC≌CEH,所以 DH=BC=EH.由三角形三边关系定理可得DH+EH>DE.而当 D,H, E 三点共线时,有DH+EH=DE,所以12BCDE .例 2 在ABC中,ACB=90,AC>BC,D是 AC边上的点, E是 BC边上的点, AD=BC,CD= BE.点 E 与点 B,C不重合,连结AE,BD交于点 F,求BFE的度数.FCABDE解 如图,过点A 作 AG AC,使得 AG=CD=BE,连结 BG, GD.可得四边形AEBG是平行四边形,则BG∥EA.易证GAD≌DCB(SAS),所以 GD=DB,GDA=DBC.所以GDA+BDC=90,可得B...