高三数学二轮复习 一题多解专题四 利用正(余)弦定理判断三角形形状考试卷VIP免费

一题多解专题四：利用正（余）弦定理判断三角形形状判定三角形形状通常有两种途径：一是通过正弦定理和余弦定理，化边为角(如：，等)，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断.此时注意一些常见的三角等式所体现的内角关系.如：sin A＝sin B A⇔ ＝B；sin(A－B)＝0 A⇔ ＝B；sin 2A＝sin 2B A⇔ ＝B 或A+B＝等；二是利用正弦定理、余弦定理化角为边，如等，通过代数恒等变换，求出三条边之间的关系进行判断.例：在△ABC 中，已知角 A，B，C 所对的边分别是 a,b,c，若(a+b+c)(a+b-c)=3ab，且2cos Asin B=sin C，试判断△ABC 的形状.思路一：根据条件，判断三角形三边的关系，此时需要化角为边；思路二：可以把角和 边巧妙地结合起来，同时考虑边之间的关系，角之间的关系.方法一：由正弦定理得，∵2cos Asin B=sin C， ，由余弦定理的推论得 ∴， 化简得，∴a=b； 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab，∴， 化简得，∴b=c，∴a=b=c，即△ABC 是等边三角形. 方法二：∵A+B+C=π，∴sin C=sin(A+B)，又 2cos Asin B=sin C， 2cos Asin B=sin(A+B)∴， ∴2cos Asin B=sin Acos B+cos Asin B， sin Acos B-cos Asin B=0∴，∴sin(A-B)=0， A,B(0,∵∈π)，∴A-B(-∈ π,π)， ∴A=B， 又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab， ∴，即， 由余弦定理的推论得 又 C(0,π)∈，，又 A=B，∴△ABC 是等边三角形.规律总结：应用正弦定理进行判断或证明的方法： ① 判断三角形的形状实质是判断三角形的三边或三角具有怎样的关系； ② 利用正弦定理化边为角或化角为边，以实现边角的统一，便于寻找三边或三角具有的 关系； ③ 判断三角形的形状的常见结果有等腰三角形、等边三角形、直角三角形或等腰直角三 角形.针对性练习：1.在△ABC 中，若 a2tan B=b2tan A，试判断△ABC 的形状.【解析】法一：由正弦定理及已知，得 sin2A·=sin2B·， 即 sin Acos A=sin Bcos B，∴sin 2A=sin 2B. ∵0<2A,2B<2π，2A+2B<2π；∴2A=2B 或 2A=π-2B.即 A=B 或 A+B=. 所以，三角形 ABC 是等腰三角形或直角三角形. 法二：在得到 sin 2A=sin 2B 后，也可以化为 sin 2A-sin 2B=0， ∴2cos(A+B)sin(A-B)=0，∴cos(A+B)=0 或 sin(A-B)=0. ∵0