第 6 讲 双曲线一、选择题1．双曲线－＝1 的焦点到渐近线的距离为( )A．2 B．2 C. D．1解析：双曲线－＝1 的渐近线为 y＝±x，c＝＝4，其焦点坐标为(±4,0)，由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为＝2.答案：A2．(2009·天津卷)设双曲线－＝1(a>0，b>0)的虚轴长为 2，焦距为 2，则双曲线的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±2xC．y＝±x D．y＝±x解析：由题意知 2b＝2,2c＝2，所以 b＝1，c＝，a＝＝，故双曲线的渐近线方程为 y＝±x.答案：C3．(2009·模似精选) 设 F1、F2分别是双曲线 x2－=1 的左、右焦点.若点 P 在该双曲线上,且PF1·PF2=0,则 P 点的纵坐标为( )A. B．±C．－ D．±解析：设 P(x0，y0),由题意可知 F1(－，0), F2(，0), 则PF1＝(－－x0，－y0)，PF2＝(－x0，－y0)，PF1·PF2＝x＋y－10＝－9＝0，y＝，y0＝±.答案：B4．已知 F1、F2分别为双曲线的左、右焦点，P 为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为 8a，则双曲线的离心率 e 的取值范围是( )A．(1，＋∞) B．(1,2] C．(1，] D．(1,3]解析：依题意知|PF1|－|PF2|＝2a，＝＝4a＋＋|PF2|≥8a，当且仅当＝|PF2|时等号成立．此时|PF2|＝2a，|PF1|＝4a，因为|PF1|＋|PF2|≥2c.所以 6a≥2c，即 10)的离心率为 2，则 a 等于________．解析：由离心率公式，得＝22(a>0)，解得 a＝1.答案：16．(2010·原创题)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线方程为 y＝±x，若顶点到渐近线的距离为 1，则双曲线方程为__________________．解析：依题意知，＝，顶点(a,0)到渐近线 x＋y＝0 的距离为＝1，则 a2＝4，b2＝，故双曲线的方程为－y2＝1.答案：－y2＝17．(2009·辽宁卷)已知 F 是双曲线－＝1 的左焦点，A(1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF|＋|PA|的最小值为________．解析：设双曲线的右焦点为 F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，所以当满足|PF1|＋|PA|最小时就满足|PF|＋|PA|取最小值．由双曲线的图象可知当点 A，P，F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小．而|AF1|即为|PF1|＋|PA|的最小值，|AF1|＝5，故所求最小值为 9.答案：9三、解答题8．求适合下列条件的双曲线的标准方程．(1)双曲线经过点(3,9)，离心率 e＝.(2)焦点在 y 轴上，且过点(3，－4)、.解：(1)由 e2＝，得＝.设 a2＝9k(k>0)，则 c2＝10k，b2＝c2－a2＝k.设双曲线方程为－＝1，①或...
