函数的凸性与拐点VIP专享VIP免费

函数的凸性与拐点教学目的：熟练掌握函数凸性的相关定义定理以及判别函数凸性与拐点的方法。重点难点：重点为对函数凸性概念的理解，难点为函数凸性相关命题的证明。教学方法：讲练结合。考察函数和的图象．它们不同的特点是：曲线上任意两点间的弧段总在这两点连线的下方；而曲线则相反，任意两点间的弧段总在这两点连线的上方．我们把具有前一种特性的曲线称为凸的，相应的函数称为凸函数；后一种曲线称为凹的，相应的函数称为凹函数．一、函数的凸性1．定义设为定义在区间上的函数，若对上的任意两点和任意实数总有，则称为上的凸函数．反之，如果总有则称为的凹函数．如果不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数和严格凹函数．易证：若为区间上的凸函数，则为区间上的凹函数．故只需讨论凸性即可．2．引理为上的凸函数的充要条件是：对于上的任意三点总有。证[必要性]记由的凸性知道从而有，整理后即得(3)式·第六章第五节第1页[充分性]在上任取两点，（<，在[]上任取一点，由必要性的推导逆过程，可证得故为I上的凸函数同理可证，为I上的凸函数的充要条件是：对于I上任意三点，有3．可导函数凸性的等价命题定理6.13设为区间I上的可导函数，则下述论断互相等价：为I上凸函数；为I上的增函数；对I上的任意两点，有．(5)证()任取I上两点()及充分小的正数．由于，根据的凸性及引理有由是可导函数，令时可得，所以为I上的递增函数．()在以为端点的区间上，由拉格朗日中值定理和递增，有．移项后即得(5)式成立，且当时仍可得到相同结论．()设以为上任意两点，0<<1．由，并利用，第六章第五节第2页分别用和乘上列两式并相加，便得．从而为上的凸函数．口注:论断几何意义：曲线总在它任一切线之上．这是可导凸函数的几何特征．4．二阶可导函数凸性的充要条件定理6．14设为区间上的二阶可导函数，则在上为凸(凹)函数的充要条件是．例1讨论函数的凸(凹)性区间。解由于，因而当时，时．从而在(]上为凸函数，在[)上为凹函数．口例2若函数为定义在开区间()内的可导的凸(凹)函数，则,为的极小(大)值点的充要条件是为的稳定点，即．证下面只证明为凸函数的情形．必要性已由费马定理可出，现在证明充分性．由定理6．13，任取()内的一点，它与一起有因，故有，即为的极小值点(且为最小值点)．例3(詹森(Jensen)不等式)若为上凸函数，则对任意，有（6）证应用数学归纳法．当时，命题显然成立．设kn时命题成立．即对任意及都有现设及第六章第五节第3页令．由数学归纳法假设可推得这就证明了对任何正整数，凸函数总有不等式(8)成立．例4证明不等式，其中均为正数证设由的一阶和二阶导数可见，在时为严格凸函数，依詹森不等式有从而。又因所以例设为开区间内的凸(凹)函数，证明在内任一点都存在左、右导数。证下面只证凸函数在存在右导数.设<则对（这里取充分小的，使+由引理中的(4)式有第六章第五节第4页令故由上式可见为增函数，任取且则对任何只要也有因而函数F()在>0上有下界．故极限F()存在，即．存在。二、函数的拐点定义2设曲线在点处有穿过曲线的切线．且在切点近旁，曲线在切线的两侧分别是严格凸和严格凹的，这时称点为曲线的拐点．由定义可见，拐点正是凸和凹曲线的分界点．例l中的点(0，0)为=arctan的拐点．正弦曲线=sin有拐点为整数．1．拐点存在的必要条件定理6．15若在二阶可导，则为曲线的拐点的必要条件是2．拐点存在的充分条件定理6．16设在可导，在某邻域内二阶可导．若在和上的符号相反，则()为曲线的拐点．注：若()是曲线的一个拐点，在的未必可导．如：函数y=在=0的情况．练习：习题2，3作业：习题1（1），4，5（1）第六章第五节第5页