函数的定义域与求法讲解VIP专享

一、 函数的定义域与求法[例题]：1、 求下列函数的定义域3、已知函数 y=lg(mx2-4mx+m+3)的定义域为 R，数 m 的取值围．[解析]：[利用复合函数的定义域进行分类讨论] 当 m=0 时，则 mx2-4mx+m+3=3，→ 原函数的定义域为 R； 当 m≠0 时，则 mx2-4mx+m+3＞0， ①m＜0 时，显然原函数定义域不为 R； ②m＞0，且△＝(-4m)2-4m(m+3)<0 时，即０＜m＜１，原函数定义域为 R， 所以当 m∈[0,1) 时，原函数定义域为 R．4、求函数 y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域．[解析]：［求原函数的值域］ 由题意可知，即求原函数的值域， x≥4, ∴log2x≥2 ∴y≥3 所以函数 y=log2x + 1 (x≥4) 的反函数的定义域是[3，+∞)．5、 函数 f(2x)的定义域是[-1，1]，求 f(log2x)的定义域．[解析]：由题意可知 2-1≤2x≤21 → f(x)定义域为[1/2，2] → 1/2≤log2x≤2 → √￣2≤x≤4．所以 f(log2x)的定义域是[√￣2,4]．二、 函数的值域与求法：配方法；零点讨论法；函数图象法；利用求反函数的定义域法；换元法；利用函数的单调性和有界性法；分离变量法．[例题]：：求下列函数的值域 [解析]：1、[利用求反函数的定义域求值域]先求其反函数：f-1(x)=(3x+1)/(x-2) ，其中 x≠2， 由其反函数的定义域，可得原函数的值域是 y∈{y∈R|y≠2} 2、[利用反比例函数的值域不等于 0]由题意可得， 因此，原函数的值域为[1/2,+∞) 4、[利用分离变量法和换元法] 设法 2x＝t，其中 t＞0，则原函数可化为 y=(t+1)/(t-1) → t=(y+1)/(y-1) ＞０ ∴y>1 或 y<-1 5、[利用零点讨论法] 由题意可知函数有 3 个零点-3，1，2， ① 当 x<-3 时，y=-(x-1)-(x+3)-(x-2)=-3x ∴y>9 ② 当-3≤x<1 时，y=-(x-1)+(x+3)-(x-2)=-x+6 ∴5