凸函数的几个定义及关系

凸函数的几个定义及关系摘要：凸函数是一重要的概念，它在许多学科里有重要的应用，在讨论生入学试题中，也时有涉及.本文主要是概述凸函数的几种不同的定义及它们的关系.关键词：凸函数；严格凸函数；等价1.凸函数几种不同的定义定义 1.1.1（凸函数）设 f 为定义在区间 I 上的函数，若对 I 上的任意两点某 1，某 2 和任意实数 λ∈（0，1），总有f（λ 某 1+（1-λ）某 2）≤λf（某 1）+（1-λ）f（某 2）（1.1）则称 f 为 I 上的凸函数.假如（1.1）中不等式改为严格不等式，则相应的函数称为严格凸函数[1].现代数学多数采纳这种定义，除此之外，还有其他形式的定义.定义 1.1.2f（某）在区间 I 上有定义，f（某）称为 I 上的凸函数，当且仅当：某 1，某 2∈I，有f 某 1+某 22≤f（某 1）+f（某 2）2（1.2）假如（1.2）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数[2].定义 1.1.3f（某）在区间 I 上有定义，f（某）称为是凸函数，当且仅当某 1，某 2，……，某 n∈I 有f 某 1+某 2+……某 nn≤f（某 1）+f（某 2）+……+f（某n）n（1.3）假如（1.3）式中不等式改成严格不等式便是严格凸函数的定义[2].定义 1.1.4f（某）在区间 I 上有定义，当且仅当曲线 y=f（某）的切线恒保持在曲线以下，则称 f（某）为凸函数.若除切点之外，切线严格保持在去线的下方，则称 f（某）为严格凸函数[3].2.几个定义的关系定理 2.1.1 定义 1.1.2 与定义 1.1.3 等价证明 1.定义 1.1.2 定义 1.1.3这里采纳反向归纳法，其要点是：（1）证明命题对于自然数的某个子序列成立；（2）证明命题当 n=k+1 成立时，必对 n=k 也成立.1 由式（1.2）知式（1.3）当 n=2 时成立，现证 n=4 时式（1.3）成立事实上，某 1，某 2，某 3，某 4∈I，由式（1.2），我们有f 某 1+某 2+某 3+某 44=某 1+某 22+某 3+某 422≤f 某 1+某 22）+f（某 3+某 422≤f（某 1）+f（某 2）+f（某 3）+f（某 4）4此即式（1.3）对 n=4 成立，一般来说，对任一自然数 k，重复上面方法，应用（1.2）式 k 次，可知f 某 1+某 2+……+某 2k2k≤f（某 1）+f（某 2）+……+f（某 2k）2k这说明式（1.3）对一切 n=2k 皆成立.2[证明式（1.3）对 n=k+1 成立时，必对 n=k 也成立]记A=某 1+某 2+……+某 kk，则某 1+某 2+……+某 k=kA，所以A=某 1+某 2+……+某 k+Ak+1由式（1.3）对 n=k+1 成立，...