凹凸函数与Jensen不等式

凹凸函数与 Jensen 不等式(Jensen Inequality)i :凹凸函数的定义设函数 f (x)为定义在区间(a, b)的函数(1)若对x1，x2  (a, b)且 x1  x2，有:f ( x1  x2 ) 2f (x1 ) 2f (x2 )则称 f (x)在(a, b)上为凸函数.(2)若对x1，x2  (a, b)且 x1  x2，有:f ( x1  x2 ) 2f (x1 ) 2nnf (x2 )则称 f (x)在(a, b)上为凹函数.ii : 判定定理若 f (x)在a, b上连续，在(a, b)内具有一阶和二阶导数， 若在(a, b)内,(1) f ''(x)  0，则 f (x)在a, b上为凹函数(2) f ''(x)  0，则 f (x)在a, b上为凸函数iii : Jensen 不等式(1)若 f (x)在a, b上为凸函数，则对x1 , x2 , x3 ,, xn a, bn xi有不等式：f ( i1) n1n i1f (xi )(2)若 f (x)在a, b上为凹函数，则对x1 , x2 , x3 ,, xn a, bn xi有不等式：f ( i1 ) n1n i1f (xi )Jensen 不等式(Jensen Inequality)的应用(1)在ABC 中，求证: sin A  sin B  sin C  3 32证明：易知，在ABC 中，A, B, C  (0,)且 A  B  C  设函数 f (x)  sin x，x  (0,). f ''(x)  cos x，x  (0,)，f ''(x)  0 f (x)在(0,)上为凸函数由 Jensen 不等式可得：f ( A) f (B) 3f (C) f ( A  B  C ) 3即 sin A  sin B  sin C3时 sin( A  B  C ) 332即 sin A  sin B  sin C  3 32当且仅当 A  B  C   ，等号成立.3证毕.(2)在ABC 中，求证: cos A  cos B  cos C  32证明：易知，在ABC 中，A, B, C  (0,)且 A  B  C  设函数 f (x)  cos x，x  (0,) f ''(x)   cos x，x  (0,)，f ''(x)  0 f (x)在(0,)上为凸函数由 Jensen 不等式可得：f ( A) f (B) 3f (C) f ( A  B  C ) 3即 cos A  cos B  cos C时8a 18b 18c 1 cos( A  B  C )  1332即 cos A  cos B  cos C  32当且仅当 A  B  C   ，等号成立3证毕.(3)若 a, b, c  R且 a  b  c  3，求证 : ...