第 4 课时 等差数列的综合应用思路方法技巧命题方向 已知 Sn求 an［例 1］ 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=-n2+n,求数列{an}的通项公式 an.S1(n=1)［分析］ 利用 an与 Sn的关系 an= ，求解. Sn-Sn-1 (n≥2)［解析］ 当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=（-n2+n）-［- (n-1) 2+ (n-1)］=-3n+104.当 n=1 时，a1=S1=-+=101 满足上式，∴an=-3n+104(n∈N+).［说明］ 由 Sn求通项公式 an时，要分 n=1 和 n≥2 两种情况，然后验证两种情况可否用统一解析式表示，若不能，则用分段函数的形式表示.变式应用 1 Sn是数列{an}的前 n 项和，根据条件求 an.（1）Sn=2n2+3n＋2；（2）Sn=3n-1.［解析］ （1）当 n=1 时，a1=S1=7,当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(2n2+3n＋2)-［2(n-1) 2+3(n-1)＋2］=4n+1，又 a1=7 不适合上式， 7 （n=1）∴an= .4n+1 (n≥2)(2)当 n=1 时，a1=S1=2,当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=（3n-1）-（3n-1-1）=2×3n-1，显然 a1适合上式，∴an=2×3n-1 (n∈N+).命题方向 求数列{|an|}的前 n 项和［例 2］ 已知数列{an}的前 n 项和 Sn=12n-n2,求数列{|an|}的前 n 项和 Tn.［分析］ 由 Sn＝12n-n2知 Sn是关于 n 的无常数项的二次函数且 n∈N+，可知{an}是等差数列，可求出 an，然后再判断哪些项为正，哪些项为负，最后求出 Tn.［解析］ 当 n=1 时，a1=S1=12-12=11.当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(12n-n2)-［12(n-1)-(n-1) 2］=13-2n.又 n=1 时适合上式，∴{an}的通项公式为 an=13-2n.由 an=13-2n≥0 得 n≤，即当 1≤n≤6(n∈N+)时，an>0,当 n≥7 时，an<0.① 当 1≤n≤6（n∈N+）时，Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=12n-n2.② 当 n≥7(n∈N+)时，用心 爱心 专心1Tn=|a1|+|a2|+…|an|=(a1+a2+…+a6)-(a7+a8+…+an)=S6-(Sn-S6)=2S6-Sn=2(12×6-62)-［11n+×(-2)］=n2-12n+72. 12n-n2(1≤n≤6,n∈N+)∴Tn= . n2-12n+72(n≥7,n∈N+)［说明］ 对于带绝对值符号的数列求和问题，应先弄清 n 取什么值时，an>0 或 an<0，然后求解.本题的易错点是：（1）对 n 在什么范围内取值时，an>0 或 an<0 的讨论.（2）在求 Tn时需对 n 的范围进行分类讨论，不能忽略了当 1≤n≤6 时的情况.变式应用 2 等差数列｛an｝的前 n 项和为 Sn=-5n2+20n，求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.［解析］ 设首项为 a1，公差为 d，则 a1=S1=15,S2=-5×4+40=20.∴a2=S2-a1=5,∴d=...
