第一章 数列 归纳总结专题探究专题 1 数列通项公式的求法数列的通项公式是给出数列的主要方式，其本质就是函数的解析式.根据数列的通项公式，不仅可以判断数列的类型，研究数列的项的变化趋势与规律，而且有利于求数列的前 n 项和.求数列的通项公式是数列的核心问题之一.现根据数列的结构特征把常见求通项公式的方法总结如下：1.知 Sn求 an［例 1］ （1）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=(-1) n+1n,求 an;（2）已知数列{an}的前 n 项和 Sn=3+2n,求 an. S1（n=1）［分析］ 利用 an= ，求数列{an}的通项公式. Sn-Sn-1 (n≥2)［解析］ (1)当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=(-1) n+1n-(-1) n(n-1)=(-1) n(1-2n),当 n=1 时，a1=S1=(-1) 2×1=1,适合上式.∴an=(-1) n(1-2n).(2)当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=3+2n-(3+2n-1)=2n-1,当 n=1 时，a1=S1=3+21=5,不满足上式. 5(n=1)∴an= .2n-1(n≥2)［说明］ 已知 Sn求 an,即已知数列的前 n 项和公式，求数列的通项公式，其方法是 an=Sn-Sn-1 (n≥2),这里常忽略了条件 n≥2 而导致错误，因此必须验证 n=1 时是否成立，若不成立，则 S1 （n=1）通项公式只能用分段函数 an= 来表示.Sn-Sn-1 （n≥2）变式应用 1 （1）已知数列｛an｝的前 n 项和 Sn=n2+3n+1,求通项 an;(2)已知数列｛an｝的前 n 项和 Sn=3n+2n，求通项 an.［解析］ (1)当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=n2+3n+1-(n-1) 2-3(n-1)-1=2n+2,又 n=1 时，a1=S1=5 不满足上式. 5(n=1)∴an= .2n+1(n≥2)（2）当 n≥2 时，an=Sn-Sn-1=3n+2n-［3n-1+2(n-1)］=2·3n-1+2=2(3n-1+1)又 n=1 时，a1=S1=5 不满足上式， 5(n=1)∴an= .2(3n-1+1)(n≥2)2.累加法［例 2］ 已知 a1=1,an+1-an=2n-n,求 an.用心 爱心 专心1［分析］ 当 n≥2 时，an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1),而 a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,…,an-an-1=2n-1-(n-1),层层累加就可以求出 an.［解析］ an+1-an=2n-n,∴a2-a1=21-1,a3-a2=22-2,a4-a3=23-3,…an-an-1=2n-1-(n-1).∴当 n≥2 时，有 an-a1=(2+22+…+2n-1)-［1+2+3+…+(n-1)］.∴an=(1+2+22+…+2n-1)- =2n--1，a1=1 也适合上式.∴数列{an}的通项公式 an=2n--1.［说明］ 已知 a1且 an+1-an=f(n)(f(n)是可求和数列)的形式均可用累加法求 an.变式应用 2 已知｛an｝中，a1＝1，且 an+1-an=3n(n∈N+),求通项 an.［解析］ an+1-an=3n(n∈N+),∴a2-a1=3,a3-a2=32,a4...
