数学归纳法（二）教学目标：掌握数学归纳法的证明步骤，熟练表达数学归纳法证明过程. 对数学归纳法的认识不断深化.掌握数学归纳法的应用：教学重点：解数学归纳法的实质意义，掌握数学归纳法的证题步骤教学难点：数学归纳法证题有效性的理解教学过程：一、复习回顾：数学归纳法两大步：（i）归纳奠基：证明当 n 取 第一个值 n0时命题成立；（ii）归纳递推：假设 n=k（k≥n0， k∈N*）时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立. 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数 n 都成立. 练习：1 已知，猜想的表达式，并给出 证明？ 过程：试值，，…，→ 猜想 → 用数学归纳法证明.2. 练习：是否存在常数 a、b、c 使得等式对一切自然数 n 都成立，试证明你的结论.二、讲授新课：1. 教学数学归纳法的应用：例 1：求证分析：第 1 步如何写？n=k 的假设如何写？ 待证的目标式是什么？如何从假设出发？关键：在假设 n=k 的式子上，如何同补？证明：（略）小结：证 n=k+1 时，需从假设出发，对比目标，分析等式两边同增的项，朝目标进行变形.例 2：求证：n 为奇数时，xn+yn能被 x+y 整除.分析要点：（凑配）xk+2+yk+2=x2·xk+y2·yk=x2(xk+yk)+y2·yk－x2·yk=x2(xk+yk)+yk(y2－x2)=x2(xk+yk)+yk·(y+x)(y－x).证明：（略）1例 3：平面内有 n 个圆，任意两个圆都相交于两点，任何三个圆都不相交于同一点，求证这 n 个圆将平面分成 f(n)=n2－n+2 个部分.分析要点：n=k+1 时，在 k+1 个圆中任取一个圆 C，剩下的 k 个圆将平面分成 f(k)个部分，而圆 C 与 k 个圆有 2k 个交点，这 2k 个交点将圆 C 分成 2k 段弧，每段弧将它所在的平面部分一分为二，故共增加了 2k 个平面部分.因此，f(k+1)=f(k)+2k=k2－k+2+2k=(k+1)2－(k+1)+2.证明：（略）三、巩固练习：：（1） 求证: （n∈N*）.（2） 用数学归纳法证明： （Ⅰ）能被 264 整除； （Ⅱ）能被整除（其中 n，a 为正整数）（3） 是否存在正整数 m，使得 f（n）=（2n+7）·3n+9 对任意正整数 n 都能被 m 整除?若存在，求出最大的 m 值，并证明你的结论；若不存在，请说明理由.（4）教材 50 1、2、5 题 四、课堂小结：两个步骤与一个结论，“递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘 掉”；从 n=k到 n=k+1 时，变形方法有乘法公式、因式分解、添拆项、配方等.五、布置作业：教材 50 4、5、6 题. 2
