第十一节变化率与导数、导数的计算[知识能否忆起]一、导数的概念1．函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数(1)定义：称函数 y＝f(x)在 x＝x0处的瞬时变化率lim ＝ lim 为函数 y＝f(x)在 x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或 y′|x＝x0，即 f′(x0)＝lim ＝lim .(2)几何意义：函数 f(x)在点 x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点( x 0， f ( x 0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t 的导数)．相应地，切线方程为 y － f ( x 0)＝ f ′( x 0)( x － x 0) ． 2．函数 f(x)的导函数称函数 f′(x)＝lim 为 f(x)的导函数．二、基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c 为常数)f′(x)＝0f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝nx n － 1 f(x)＝sin xf′(x)＝cos_xf(x)＝cos xf′(x)＝－ sin _xf(x)＝axf′(x)＝a x ln _af(x)＝exf′(x)＝e x f(x)＝logaxf′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝三、导数的运算法则1．[f(x)±g(x)]′＝f ′( x )± g ′( x ) ；2．[f(x)·g(x)]′＝f ′( x ) g ( x ) ＋ f ( x ) g ′( x ) ；3.′＝(g(x)≠0)．(理)4.复合函数的导数复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′· u x′，即 y 对 x 的导数等于 y 对 u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积．[小题能否全取]1．(教材习题改编)若 f(x)＝xex，则 f′(1)＝( )A．0 B．eC．2e D．e2解析：选 C f′(x)＝ex＋xex，∴f′(1)＝2e.2．曲线 y＝xln x 在点(e，e)处的切线与直线 x＋ay＝1 垂直，则实数 a 的值为( )A．2 B．－2C. D．－解析：选 A 依题意得 y′＝1＋ln x，y′x＝e＝1＋ln e＝2，所以－×2＝－1，a＝2.3．(教材习题改编)某质点的位移函数是 s(t)＝2t3－gt2(g＝10 m/s2)，则当 t＝2 s 时，它的加速度是( )A．14 m/s2 B．4 m/s2C．10 m/s2 D．－4 m/s2解析：选 A 由 v(t)＝s′(t)＝6t2－gt，a(t)＝v′(t)＝12t－g，得 t＝2 时，a(2)＝v′(2)＝12×2－10＝14(m/s2)．4．(2012·广东高考)曲线 y＝x3－x＋3 在点(1,3)处的切线方程为________．解析： y′＝3x2－1，∴y′x＝1＝3×12－1＝2.∴该切线方程为 y－3＝2(x－1)，即 2x－y＋1＝0.答案：2x－y＋1＝05．函数 y＝xcos x－sin x 的导数为________．解析：y′＝(xcos x)′－(sin x)′＝x′cos x＋x(cos x)′－cos x...
