第四节函数的奇偶性及周期性[知识能否忆起]一、函数的奇偶性奇偶性定 义图象特点偶函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数关于 y 轴 对称奇函数如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x，都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数关于原点对称二、周期性1．周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．[小题能否全取]1．(2012·广东高考)下列函数为偶函数的是( )A．y＝sin x B．y＝x3C．y＝ex D．y＝ln 解析：选 D 四个选项中的函数的定义域都是 R.y＝sin x 为奇函数．幂函数 y＝x3也为奇函数．指数函数 y＝ex为非奇非偶函数．令 f(x)＝ln ，得 f(－x)＝ln ＝ln ＝f(x)．所以 y＝ln 为偶函数．2．已知 f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么 a＋b 的值是( )A．－ B.C. D．－解析：选 B f(x)＝ax2＋bx 是定义在[a－1,2a]上的偶函数，∴a－1＋2a＝0，∴a＝.又 f(－x)＝f(x)，∴b＝0，∴a＋b＝.3．(教材习题改编)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)，满足 f(x＋4)＝f(x)，则 f(8)的值为( )A．－1 B．0C．1 D．2解析：选 B f(x)为奇函数且 f(x＋4)＝f(x)，∴f(0)＝0，T＝4.∴f(8)＝f(0)＝0.4．若函数 f(x)＝x2－|x＋a|为偶函数，则实数 a＝________.解析：法一： f(－x)＝f(x)对于 x∈R 恒成立，∴|－x＋a|＝|x＋a|对于 x∈R 恒成立，两边平方整理得 ax＝0，对于 x∈R 恒成立，故 a＝0.法二：由 f(－1)＝f(1)，得|a－1|＝|a＋1|，故 a＝0.答案：05．(2011·广东高考)设函数 f(x)＝x3cos x＋1.若 f(a)＝11，则 f(－a)＝________.解析：观察可知，y＝x3cos x 为奇函数，且 f(a)＝a3cos a＋1＝11，故 a3cos a＝10.则 f(－a)＝－a3cos a＋1＝－10＋1＝－9.答案：－9 1.奇、偶函数的有关性质：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件；(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于 y 轴对称；反之亦然；(3)若奇函数 f(x)在 x＝0 处有定义，则 f(0)＝0；(4)利用奇函数的图...
