两角差的余弦公式(提高)【学习目标】1．经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用.2．通过公式的推导，领会其中的数学基本思想，掌握研究数学的基本方法，从而提高数学素质.【要点梳理】要点一：两角差的余弦公式1．两角差的余弦公式的推导：（1）如图，在平面直角坐标系内作单位圆，以为始边作角，它们的终边与单位圆的交点分别为，则由向量数量积的概念，有，结合向量数量积的坐标表示，有所以= （*）（2）由以上的推导过程可知，是任意角，则也应为任意角，但由两个向量数量积的意义，（*）中的．为此，我们讨论如下：由 于是 任 意 角 ， 由 诱 导 公 式 ， 总 可 以 找 到 一 个 角， 使．① 若，则．②若，则，且由以上的讨论可知，对于任意的，都有：= 2．公式的记忆右端为的同名三角函数积，连接符号与左边角的连接符号相反．要点诠释：(1)公式中的都是任意角．(2)差角的余弦公式不能按分配律展开，即．(3)要正确地识记公式结构，公式右端的两部分为同名三角函数积，左端为两角差的余弦．要点二：两角差余弦公式的逆向应用和活用1．逆用 =要点诠释：公式使用时不仅要会正用，还要能够逆用，在很多时候，逆用更能简捷地处理问题 .如：由能迅速地想到．2．角变换后使用．3．移项运用4．特殊化使用5．以代即【典型例题】类型一：利用差角的余弦公式进行证明例 1．求证：（1）（2）【 思 路 点 拨 】 （ 1 ） 用代， 利 用 两 角 差 的 余 弦 公 式 展 开 ． （ 2 ） 利 用及两角和的余弦公式可证得．【证明】（1）= = （2） = = = =举一反三：【变式 1】证明： = = = = =类型二：利用差角的余弦公式化简三角函数式例 2．（1）；（2）．【解析】（1）原式．（2）原式= = = = =【总结升华】 两角差的余弦公式中，，可以是单个角，也可以是两个角的和或差，在运用公式时常将两角的和或差视为一个整体，如（2）题的（）可视为一个整体．分析题目特点，构造两角的差，然后应用两角差的余弦公式，是常见题型．举一反三：【变式 1】（1）cos15°cos105°+sin15°sin105°；（2）cos(－35)°·cos(25°+)+sin(－35°)·sin(25°+)；（3）cos 40°cos70°+cos20°cos50°；（4）；【解析】（1）原式=cos(15°－105°)=cos(－90°)=0．（2）原式．（3）原式．（4）原式 类型三：利用差角的余弦公式求值（或角）例 3．已知，，，均为锐角...
