1.2.7 二次函数的图象和性质——增减性和最值[学习目标] 1.了解二次函数的定义.2.掌握二次函数的图象及增减性和最值．[知识链接]1．函数 y＝x2－2x－3 的对称轴为 x ＝ 1 ，该函数的递增区间为(1 ，＋∞ ) ，递减区间为( －∞ ， 1) ． 2．函数 y＝x2的最小值为 0.[预习导引]二次函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0，x∈R)，当 a＞0(a＜0)时，在区间(－∞，－]上递减(递增)，在[－，＋∞)上递增(递减)，图象曲线开口向上 ( 下 ) ，在 x＝－处取到最小(大)值f(－)＝－，这里 Δ＝b2－4ac.点(－，－)叫作二次函数图象的顶点.要点一 求二次函数的解析式例 1 已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数解析式．解 方法一 利用二次函数一般式．设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．则由①②得 b＝－a，则 2a＋c＝－1，即 c＝－2a－1.代入③整理得 a2＝－4a，解得 a＝－4，或 a＝0(舍去)．∴b＝4，c＝7.因此所求二次函数解析式为 y＝－4x2＋4x＋7.方法二 利用二次函数顶点式．设 f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)． f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为 x＝＝，即 m＝.又根据题意函数有最大值为 n＝8，∴y＝f(x)＝a(x－)2＋8， f(2)＝－1，∴a(2－)2＋8＝－1.解之得 a＝－4.∴f(x)＝－4(x－)2＋8＝－4x2＋4x＋7.方法三 利用两根式．由已知 f(x)＋1＝0 的两根为 x1＝2，x2＝－1.故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即 f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值 8，∴＝8.解之得 a＝－4.∴所求函数解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.规律方法 用待定系数法求二次函数的解析式时，解析式的设法有三种形式，即 f(x)＝ax2＋bx＋c(一般式)、f(x)＝a(x－x1)·(x－x2)(两根式)、f(x)＝a(x－m)2＋n(顶点式)．跟踪演练 1 已知 f(x)为二次函数，且 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x.求 f(x)的解析式．解 设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则 f(x＋1)＝a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c，f(x－1)＝a(x－1)2＋b(x－1)＋c，又 f(x＋1)＋f(x－1)＝2x2＋4x，∴2ax2＋2bx＋2a＋2c＝2x2＋4x，∴∴∴f(x)＝x2＋2x－1.要点二 二次函数的增减性例 2 f(x)＝4x2－mx＋5 在区间[－2，＋∞)上是递增函数，求 m 的取值范围．解 函数的顶点横坐标为 x＝，又函数在区间[－2，＋∞)上是递增函数，∴≤－2，即 m≤－16，故 m 的取值范围是{m|m≤－16}．规律方法 f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)在(－∞，－]上是递减函...
