等比数列概念及性质【考点 1】等比数列的定义及判定（1）一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：．注意：①“从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数”，这里的项具有任意性和有序性，常数是同一个；② 隐含条件：任一项且；“”是数列成等比数列的必要非充分条件；③ 常数列都是等差数列，但不一定是等比数列．不为 0 的常数列是公比为 1 的等比数列；④成等比数列．（2）等比数列的判定等比数列的判定方法有：① 定义法：若，则是等比数列；② 中项公式法：若数列中，，则数列是等比数列；③ 通项公式法：若数列通项公式可写成，则数列是等比数列；④ 前 n 项和公式法：若数列的前 n 项和，则数列是等比数列；注：（1）前两种方法是判定等比数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填空中的判定；（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可．思路解析：证明一个数列是等比数列常用定义法，即，对于本例（1）适当变形即可求证，证明不等问题常用作差法证明．例 1 已知数列{an}满足 a1＝1，an＋1＝2an＋1．证明：数列{an＋1}是等比数列； 【点拨】根据判定数列是等比数列．【解析】证明：（1） ＝＝（n∈N*），∴数列{an＋1}是等比数列． 【小结】本题考查定义法判定数列{an＋1}是等比数列．练习 1：已知＝2，点在函数的图象上，其中＝1,2,3，…．证明数列是等比数列；【解答过程】【解析】证明：由已知得，∴ ． ，∴ ．∴ ，即，且．∴ 是首项为 lg 3，公比为 2 的等比数列．【考点 2】等比数列的通项公式首相为，公比为的等比数列的通项公式为：推导过程：（1）归纳法：根据等比数列的定义可得：∴；；；……当 n=1 时，上式也成立∴归纳得出：（2）叠乘法：根据等比数列的定义可得：，，，……，把以上个等式的左边与右边分别相乘（叠乘），并化简得：，即又 a1也符合上式∴．（3）迭代法：∴．注意：① 通项公式由首项和公比完全确定，一旦一个等比数列的首项和公比确定，该等比数列就唯一确定了．② 通项公式中共涉及、、、四个量，已知其中任意三个量，通过解方程，便可求出第四个量．等比数列的通项公式的推广已知等比数列中，第项为，公比为，则：证明： ， ∴ ∴由上可知，等比数列的通项公式可以用数列中的任一...
