第十节 圆锥曲线中的证明与存在性问题(对应学生用书第 168 页)⊙考点 1 证明问题 圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；二是数量关系方面的，如存在定值、恒成立、值相等、角相等、三点共线等．(2)解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明，多采用直接法证明，有时也会用到反证法． (2018·全国卷Ⅰ)设抛物线 C：y2＝2x，点 A(2,0)，B(－2,0)，过点 A 的直线l 与 C 交于 M，N 两点．(1)当 l 与 x 轴垂直时，求直线 BM 的方程；(2)证明：∠ABM＝∠ABN.[解](1)当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x＝2，可得 M 的坐标为(2,2)或(2，－2)．所以直线 BM 的方程为 y＝x＋1 或 y＝－x－1.(2)当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以∠ABM＝∠ABN.当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为 y＝k(x－2)(k≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1>0，x2>0.由得 ky2－2y－4k＝0，可知 y1＋y2＝，y1y2＝－4.直线 BM，BN 的斜率之和为kBM＋kBN＝＋＝.①将 x1＝＋2，x2＝＋2 及 y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2(y1＋y2)＝＝＝0.所以 kBM＋kBN＝0，可知 BM，BN 的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN.综上，∠ABM＝∠ABN. 把证明∠ABM＝∠ABN 转化为证明 kBM＋kBN＝0 是解题的关键． (2017·全国卷Ⅱ)设 O 为坐标原点，动点 M 在椭圆 C：＋y2＝1 上，过 M 作 x 轴的垂线，垂足为 N，点 P 满足NP＝NM.(1)求点 P 的轨迹方程；(2)设点 Q 在直线 x＝－3 上，且OP·PQ＝1.证明：过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F.[解](1)设 P(x，y)，M(x0，y0)，则 N(x0,0)，NP＝(x－x0，y)，NM＝(0，y0)．由NP＝NM得 x0＝x，y0＝y.因为 M(x0，y0)在 C 上，所以＋＝1.因此点 P 的轨迹方程为 x2＋y2＝2.(2)证明：由题意知 F(－1,0)．设 Q(－3，t)，P(m，n)，则OQ＝(－3，t)，PF＝(－1－m，－n)，OQ·PF＝3＋3m－tn，OP＝(m，n)，PQ＝(－3－m，t－n)．由OP·PQ＝1，得－3m－m2＋tn－n2＝1，又由(1)知 m2＋n2＝2，故 3＋3m－tn＝0.所以OQ·PF＝0，即OQ⊥PF.又过点 P 存在唯一直线垂直于 OQ，所以过点 P 且垂直于 OQ 的直线 l 过 C 的左焦点 F....
