第二类 数列问题重在“归”——化归、归纳等差数列与等比数列是两个基本数列，是一切数列问题的出发点与归宿.对于不是等差或等比的数列，可从简单的个别的情形出发，从中归纳出一般的规律、性质，这种归纳思想便形成了解决一般性数列问题的重要方法：观察、归纳、猜想、证明.由于数列是一种特殊的函数，也可根据题目的特点，将数列问题化归为函数问题来解决.【例 2】 已知数列{an}满足 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设 bn＝，求数列{bnbn＋1}的前 n 项和 Tn.解 (1)当 n＝1 时，a1＝.因为 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an＝，所以 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2)，(归纳)两式相减得 4n－1an＝(n≥2，n∈N*)，所以 an＝(n≥2，n∈N*).由于 a1＝，故 an＝(n∈N*).(2)由(1)得 bn＝＝，(化归)所以 bnbn＋1＝＝，故 Tn＝＝＝.探究提高 1.(1)归纳：通过条件归纳出 a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2)，进而得出{an}的通项公式.(2)化归：把数列的通项分拆，利用裂项相消法求和.2.破解策略：“算一算、猜一猜、证一证”是数列中特有的归纳思想，利用这种思想可探索一些一般数列的简单性质.等差数列与等比数列是数列中的两个特殊的基本数列，高考中通常考查的是非等差、等比数列问题，应对的策略就是通过化归思想，将其转化为这两种数列.【训练 2】 (2018·南昌调研)设数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知首项 a1＝λ，Sn＋1＝λSn＋λ(n∈N*)，其中常数 λ>1.(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足 bn＝logλ(a1a2…an)(n∈N*)，求数列{bn}的前 n 项和 Tn.(1)证明 当 n＝1 时，S2＝λS1＋λ，即 a2＝λ2，＝λ，当 n≥2 时，Sn＝λSn－1＋λ，an＋1＝Sn＋1－Sn＝λ(Sn－Sn－1)＝λan，所以＝λ.故数列{an}是首项为 λ，公比为 λ 的等比数列.(2)解 根据(1)得 an＝λn，所以 a1·a2…an＝λ1＋2＋…＋n＝λ，从而 bn＝logλλ＝，则{bn}是首项为 1 的等差数列.故 Tn＝＝.
