第三类 立体几何问题重在“准”——证明与运算立体几何解答题的基本模式是推理论证与体积(表面积)计算相结合，以某个几何体为依据，分步设问，逐层加深.解决这类问题的原则，将问题转化为平行、垂直的推理证明，准确运用相关定理等进行证明；同时以常见几何体的表面积与体积公式为依据准确进行运算.【例 3】 (2016·全国Ⅱ卷)如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 E，F 分别在AD，CD 上，AE＝CF，EF 交 BD 于点 H，将△DEF 沿 EF 折到△D′EF 的位置.(1)证明：AC⊥HD′；(2)若 AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥 D′－ABCFE 的体积.(1)证明 由已知得 AC⊥BD，AD＝CD.(证明)又由 AE＝CF，得＝，故 AC∥EF.由此得 EF⊥HD，故 EF⊥HD′，又 AC∥EF，所以 AC⊥HD′.(2)解 由 AC∥EF，得＝＝.(运算)由 AB＝5，AC＝6，得 DO＝BO＝＝4，所以 OH＝1，D′H＝DH＝3，于是 OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故 OD′⊥OH.由(1)知 AC⊥HD′，又 AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD，HD′⊂平面 BD′H，所以 AC⊥平面 BD′H，由 OD′⊂平面 BD′H，于是 AC⊥OD′，(证明)又由 OD′⊥OH，AC∩OH＝O，AC，OH⊂平面 ABC，所以 OD′⊥平面 ABC.又由＝，得 EF＝.(运算)五边形 ABCFE 的面积 S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥 D′－ABCFE 的体积 V＝××2＝.探究提高 1.在立体几何类解答题中，对于证明与计算过程中的得分点的步骤，有则给分无则没分，所以对于得分点步骤一定要写，如第(1)问中的 AC⊥BD，AD＝CD，＝；第(2)问中＝，OD′2＋OH2＝D′H2，AC∩OH＝O 等.同时注意第(1)问基础上，证明 OD′⊥平面 ABC.2.在立体几何类解答题中，通常都以常见的空间几何体为载体去证明空间的垂直或平行关系及求几何体体积，因此要牢记空间几何体的结构特征，准确运用相关的判定定理、性质定理、体积公式，如本题第(2)问中，AC⊥OD′及 OD′⊥平面 ABC 的证明及五棱锥 D′－ABCFE 体积 V 的计算.【 训 练 3 】 (2018· 日 照 一 模 ) 如 图 ， 在 几 何 体 ABCDE 中 ， DA⊥ 平 面EAB，EA⊥AB，CB∥DA，F 为 DA 上的点，EA＝DA＝AB＝2CB，M 是 EC 的中点，N 为 BE 的中点.(1)若 AF＝3FD，求证：FN∥平面 MBD；(2)若 EA＝2，求三棱锥 M－ABC 的体积. (1)证明 连接 MN，因 M，N 分别是 EC，BE 的中点，∴MN∥CB 且 MN＝CB＝DA，又 AF＝3FD，∴FD＝DA，∴MN＝FD，又 CB∥DA，∴MN∥DA，∴MN∥FD，∴四边形 MNFD 为平行四边形，∴FN∥MD，又 FN⊄平面 MBD，MD⊂平面 MBD，所以 FN∥平面 MBD.(2)解 连接 AN，则 AN⊥BE，DA⊥AN，MN∥DA，即 AN⊥MN，又 BE∩MN＝N，所以 AN⊥平面EBC，又在△ABC 中，AN＝，S△MBC＝××2×1＝，∴VM－ABC＝VA－MBC＝AN×S△MBC＝××＝，所以三棱锥 M－ABC 的体积为.
