第五类 解析几何问题重在“设”——设点、设线解析几何试题知识点多、运算量大、能力要求高、综合性强，在高考试题中大都是以压轴题的面貌出现，是考生“未考先怕”的题型，不是怕解题无思路，而是怕解题过程中繁杂的运算.因此，在遵循“设——列——解”程序化解题的基础上，应突出解析几何“设”的重要性，以克服平时重思路方法、轻运算技巧的顽疾，突破如何避繁就简这一瓶颈.【例 5】 (2017·全国Ⅰ卷)设 A，B 为曲线 C：y＝上两点，A 与 B 的横坐标之和为 4.(1)求直线 AB 的斜率；(2)设 M 为曲线 C 上一点，C 在 M 处的切线与直线 AB 平行，且 AM⊥BM，求直线 AB 的方程.解 (1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4.(设点)于是直线 AB 的斜率 k＝＝＝1.(2)由 y＝，得 y′＝.设 M(x3，y3)，由题设知＝1，解得 x3＝2，于是 M(2，1).设直线 AB 的方程为 y＝x＋m，(设线)故线段 AB 的中点为 N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|.将 y＝x＋m 代入 y＝得 x2－4x－4m＝0.当 Δ＝16(m＋1)>0，即 m>－1 时，x1，2＝2±2.从而|AB|＝|x1－x2|＝4.由题设知|AB|＝2|MN|，即 4＝2(m＋1)，解得 m＝7.所以直线 AB 的方程为 x－y＋7＝0.探究提高 1.(1)设点：设出 A，B 两点坐标，并得出 x1≠x2，x1＋x2＝4.(2)设线：由(1)知直线斜率，再设直线方程为 y＝x＋m，利用条件可求出 m 的值.2.破解策略：解析几何的试题常要根据题目特征，恰当地设点、设线，以简化运算.常见的设点方法有减元设点、参数设点、直接设点等，常见的设线方法有圆方程的标准式与一般式、直线方程有 y＝kx＋b、x＝my＋n 及两点式、点斜式等形式、还有曲线系方程、参数方程等.【训练 5】 已知抛物线 C：y2＝4x 和直线 l：x＝－1.(1)若曲线 C 上存在一点 Q，它到 l 的距离与到坐标原点 O 的距离相等，求 Q 点的坐标；(2)过直线 l 上任一点 P 作抛物线的两条切线，切点记为 A，B，求证：直线 AB 过定点.(1)解 设 Q(x，y)，则(x＋1)2＝x2＋y2，即 y2＝2x＋1，由解得 Q.(2)证明 设过点(－1，t)的直线方程为 y－t＝k(x＋1)(k≠0)，代入 y2＝4x，得 ky2－4y＋4t＋4k＝0，由 Δ＝0，得 k2＋kt－1＝0，特别地，当 t＝0 时，k＝±1，切点为 A(1，2)，B(1，－2)，显然 AB 过定点 F(1，0).一般地，方程 k2＋kt－1＝0 有两个根，∴k1＋k2＝－t，k1k2＝－1，∴两切点分别为 A，B，∴FA＝，FB＝，又－＝2＝0，∴FA与FB共线，又FA与FB有共同的起点 F，∴A，B，F 三点共线，∴AB 过点 F(1，0)，综上，直线 AB 过定点 F(1，0).
