溯源回扣四 数列与不等式1.已知数列的前 n 项和 Sn求 an，易忽视 n＝1 的情形，直接用 Sn－Sn－1表示.事实上，当 n＝1 时，a1＝S1；当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1.[回扣问题 1] 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝2n＋3，则 an＝________.解析 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1，当 n＝1 时，a1＝S1＝5，不满足上式.∴an＝答案 an＝2.等差数列中不能熟练利用数列的性质转化已知条件，并灵活整体代换进行基本运算.如等差数列{an}与{bn}的前 n 项和分别为 Sn和 Tn，已知＝，求时，无法正确赋值求解.[回扣问题 2] 等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，且＝，则＝________.解析 ＝＝＝＝＝.答案 3.运用等比数列的前 n 项和公式时，易忘记分类讨论.一定分 q＝1 和 q≠1 两种情况进行讨论.[回扣问题 3] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若 S3＋S6＝S9，则公比 q＝________.解析 (1)当 q＝1 时，显然 S3＋S6＝S9成立.(2)当 q≠1 时，由 S3＋S6＝S9，得＋＝.由于 1－q3≠0，得 q6＝1，∴q＝－1.答案 1 或－14.利用等差数列定义求解问题时，易忽视 an－an－1＝d(常数)中，n≥2，n∈N*的限制，类似地，在等比数列中，＝q(常数且 q≠0)，忽视 n≥2，n∈N*的条件限制.[回扣问题 4] (2015·安徽卷改编)已知数列{an}中，a1＝a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________.解析 由 a2＝1，an＋1＝an＋(n≥2)，∴数列{an}从第 2 项起是公差为的等差数列，∴S9＝a1＋a2＋a3＋…＋a9＝1＋8a2＋×＝23.答案 235.对于通项公式中含有(－1)n的一类数列，在求 Sn时，切莫忘记讨论 n 的奇偶性；遇到已知 an＋1－an－1＝d 或＝q(n≥2)，求{an}的通项公式时，要注意分 n 的奇偶性讨论.[回扣问题 5] 若 an＝2n－1，bn＝(－1)n－1an，则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝________.解析 bn＝(－1)n－1an＝(－1)n－1(2n－1).当 n 为偶数时，Tn＝a1－a2＋a3－a4＋…＋an－1－an＝(－2)×＝－n.当 n 为奇数时，Tn＝Tn－1＋bn＝－(n－1)＋an＝n.故 Tn＝答案 Tn＝6.解形如一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0 时，易忽视系数 a 的讨论导致漏解或错解，要注意分 a>0，a<0 进行讨论.[回扣问题 6] 若不等式 x2＋x－10 对 x∈R 恒成立.(1)当 m2－1＝0 ...
