第二课时 最值、范围、证明问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线中的最值问题——自主练透例 1 (2020·广东调研)已知圆 x2＋y2＋2x－26＝0 的圆心为 F1，直线 l 过点F2(，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 F1于 C，D 两点，过 F2作 F1C 的平行线，交 F1D 于点 E
设点 E的轨迹为 Ω
(1)求 Ω 的方程；(2)直线 l1与 Ω 相切于点 M，l1与两坐标轴的交点为 A 与 B，直线 l2经过点 M 且与 l1垂直l2与 Ω 的另一个交点为 N
当|AB|取得最小值时，求△ABN 的面积．[解析] (1)因为 F1C∥EF2，所以∠F1CD＝∠EF2D．又 F1C＝F1D，所以∠F1CD＝∠F1DC，则∠EDF2＝∠EF2D，所以|ED|＝|EF2|，从而|EF2|＋|EF1|＝|ED|＋|EF1|＝|DF1|
x2＋y2＋2x－26＝0 可化为(x＋)2＋y2＝32，所以|EF2|＋|EF1|＝＝4>2
从而 E 的轨迹为以 F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆(剔除左、右顶点)．所以 Ω 的方程为＋＝1(y≠0)．(2)易知 l1的斜率存在，所以可设 l1的方程为 y＝kx＋m(k≠0)联立消去 y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0
因为直线 l 与 Ω 相切，所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－8)＝0
即 m2＝8k2＋2
l1在 x 轴、y 轴上的截距分别为－，m，则|AB|＝＝＝＝≥＝3，当且仅当 8k2＝，即 k＝±时取等号．所以当 k2＝时，|AB|取得最小值，此时 m2＝6，根据对称性，不妨取 k＝，m＝，此时 2xM＝－＝－，即 xM＝－，从而 yM＝－×＋＝，联立消去 y，得 9x2＋16x＋16＝0，则 xM＋
