第二课时 最值、范围、证明问题KAO DIAN TU PO HU DONG TAN JIU考点突破·互动探究考点一 圆锥曲线中的最值问题——自主练透例 1 (2020·广东调研)已知圆 x2＋y2＋2x－26＝0 的圆心为 F1，直线 l 过点F2(，0)且与 x 轴不重合，l 交圆 F1于 C，D 两点，过 F2作 F1C 的平行线，交 F1D 于点 E.设点 E的轨迹为 Ω.(1)求 Ω 的方程；(2)直线 l1与 Ω 相切于点 M，l1与两坐标轴的交点为 A 与 B，直线 l2经过点 M 且与 l1垂直l2与 Ω 的另一个交点为 N.当|AB|取得最小值时，求△ABN 的面积．[解析] (1)因为 F1C∥EF2，所以∠F1CD＝∠EF2D．又 F1C＝F1D，所以∠F1CD＝∠F1DC，则∠EDF2＝∠EF2D，所以|ED|＝|EF2|，从而|EF2|＋|EF1|＝|ED|＋|EF1|＝|DF1|.x2＋y2＋2x－26＝0 可化为(x＋)2＋y2＝32，所以|EF2|＋|EF1|＝＝4>2.从而 E 的轨迹为以 F1(－，0)，F2(，0)为焦点，长轴长为 4 的椭圆(剔除左、右顶点)．所以 Ω 的方程为＋＝1(y≠0)．(2)易知 l1的斜率存在，所以可设 l1的方程为 y＝kx＋m(k≠0)联立消去 y，得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－8＝0.因为直线 l 与 Ω 相切，所以Δ＝(8km)2－4(1＋4k2)(4m2－8)＝0.即 m2＝8k2＋2.l1在 x 轴、y 轴上的截距分别为－，m，则|AB|＝＝＝＝≥＝3，当且仅当 8k2＝，即 k＝±时取等号．所以当 k2＝时，|AB|取得最小值，此时 m2＝6，根据对称性，不妨取 k＝，m＝，此时 2xM＝－＝－，即 xM＝－，从而 yM＝－×＋＝，联立消去 y，得 9x2＋16x＋16＝0，则 xM＋xN＝－＋xN＝－，解得 xN＝－，所以|MN|＝|xM－xN|＝，故△ABN 的面积为××3＝4.例 2 (2020·四川省联合诊断)已知抛物线 x2＝8y，过点 M(0,4)的直线与抛物线交于 A，B 两点，又过 A，B 两点分别作抛物线的切线，两条切线交于 P 点．(1)证明：直线 PA，PB 的斜率之积为定值；(2)求△PAB 面积的最小值．[解析] (1)证明：由题意设 l 的方程为 y＝kx＋4，联立，得 x2－8kx－32＝0，因为 Δ＝(－8k)2－4×(－32)>0，所以设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2＝－32，设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，对 y＝，求导得 y′＝，所以 k1＝，k2＝，所以，k1k2＝·＝＝＝－2(定值)．(2)由(1)可得直线 PA 的方程为 y－＝(x－x1)①直线 PB 的方程为 y－＝(x－x2)②联立①②，得点 P 的坐标为(，)，由(1)得 x1＋x2＝8k，x1x2＝－32，所以 P(4k，－4)...
