【创新设计】（全国通用）2017版高考数学一轮复习第八章立体几何第5讲空间向量及其运算练习理新人教A版基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1.在空间直角坐标系中，A(1，2，3)，B(－2，－1，6)，C(3，2，1)，D(4，3，0)，则直线AB与CD的位置关系是()A.垂直B.平行C.异面D.相交但不垂直解析由题意得，AB＝(－3，－3，3)，CD＝(1，1，－1)，∴AB＝－3CD，∴AB与CD共线，又AB与CD没有公共点.∴AB∥CD.答案B2.空间四边形ABCD的各边和对角线均相等，E是BC的中点，那么()A.AE·BC＜AE·CDB.AE·BC＝AE·CDC.AE·BC＞AE·CDD.AE·BC与AE·CD的大小不能比较解析取BD的中点F，连接EF，则EF綉CD，因为〈AE，EF〉＝〈AE，CD〉＞90°，因为AE·BC＝0，∴AE·CD＜0，所以AE·BC＞AE·CD.答案C3.(2016·济南月考)O为空间任意一点，若OP＝OA＋OB＋OC，则A，B，C，P四点()A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.无法判断解析因为OP＝OA＋OB＋OC，且＋＋＝1.所以P，A，B，C四点共面.答案B4.已知向量a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，且ka＋b与2a－b互相垂直，则k的值是()A.－1B.C.D.解析由题意得，ka＋b＝(k－1，k，2)，2a－b＝(3，2，－2).所以(ka＋b)·(2a－b)＝3(k－1)＋2k－2×2＝5k－7＝0，解得k＝.答案D5.已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A.a2B.a2C.a2D.a2解析如图，设AB＝a，AC＝b，AD＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.AE＝(a＋b)，AF＝c，∴AE·AF＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos60°＋a2cos60°)＝a2.答案C二、填空题6.(2016·衡阳模拟)已知a＝(2，1，－3)，b＝(－1，2，3)，c＝(7，6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ＝________.解析由题意知c＝xa＋yb，即(7，6，λ)＝x(2，1，－3)＋y(－1，2，3)，∴解得λ＝－9.答案－97.已知2a＋b＝(0，－5，10)，c＝(1，－2，－2)，a·c＝4，|b|＝12，则以b，c为方向向量的两直线的夹角为________.解析由题意得，(2a＋b)·c＝0＋10－20＝－10.即2a·c＋b·c＝－10，又 a·c＝4，∴b·c＝－18，∴cos〈b，c〉＝＝＝－，∴〈b，c〉＝120°，∴两直线的夹角为60°.答案60°8.(2016·徐州模拟)已知O点为空间直角坐标系的原点，向量OA＝(1，2，3)，OB＝(2，1，2)，OP＝(1，1，2)，且点Q在直线OP上运动，当QA·QB取得最小值时，OQ的坐标是__________.解析 点Q在直线OP上，∴设点Q(λ，λ，2λ)，则QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)，QA·QB＝(1－λ)(2－λ)＋(2－λ)(1－λ)＋(3－2λ)(2－2λ)＝6λ2－16λ＋10＝6－.即当λ＝时，QA·QB取得最小值－.此时OQ＝.答案三、解答题9.已知空间中三点A(－2，0，2)，B(－1，1，2)，C(－3，0，4)，设a＝AB，b＝AC.(1)若|c|＝3，且c∥BC，求向量c.(2)求向量a与向量b的夹角的余弦值.解(1) c∥BC，BC＝(－3，0，4)－(－1，1，2)＝(－2，－1，2)，∴c＝mBC＝m(－2，－1，2)＝(－2m，－m，2m)，∴|c|＝＝3|m|＝3，∴m＝±1.∴c＝(－2，－1，2)或(2，1，－2).(2) a＝(1，1，0)，b＝(－1，0，2)，∴a·b＝(1，1，0)·(－1，0，2)＝－1，又 |a|＝＝，|b|＝＝，∴cos〈a，b〉＝＝＝－，即向量a与向量b的夹角的余弦值为－.10.如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心，(1)试证：A1，G，C三点共线；(2)试证：A1C⊥平面BC1D.证明(1)CA1＝CB＋BA＋AA1＝CB＋CD＋CC1，可以证明CG＝(CB＋CD＋CC1)＝CA1，∴CG∥CA1，又CG与CA1有公共点C，即A1，G，C三点共线.(2)设CB＝a，CD＝b，CC1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a·b＝b·c＝c·a＝0， CA1＝a＋b＋c，BC1＝c－a，∴CA1·BC1＝(a＋b＋c)·(c－a)＝c2－a2＝0，因此CA1⊥BC1，即CA1⊥BC1，同理CA1⊥BD，又BD与BC1是平面BC1D内的两相交直线，故A1C⊥平面BC1D.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.若向量c垂直于不共线的向量a和b，d＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，则()A.c∥dB.c⊥dC.c不平行于d，c也不垂直于dD.以上三种情况均有可能解析由题意得，c垂直于由a，b确定的平面. d＝λa＋μb，∴d与a，b共面.∴c⊥d.答案B12.在空间四边形ABCD中，AB·C...
