第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号利用向量求异面直线所成的角3利用向量求直线与平面所成的角2利用向量求二面角1,3,4利用向量求距离4综合应用51.(2016·山东菏泽市高三上学期期末)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD是边长为2的菱形,PA⊥平面ABCD,∠ABC=60°,E,F分别为BC,PC的中点.(1)判断AE与PD是否垂直,并说明理由;(2)若PA=2,求二面角EAFC的余弦值.解:(1)垂直.证明:由四边形ABCD为菱形,∠ABC=60°,可得△ABC为正三角形.因为E为BC的中点,所以AE⊥BC,又BC∥AD,所以AE⊥AD,因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.而PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD,且PA∩AD=A,所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,所以AE⊥PD.(2)由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,所以A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),F(,,1),所以=(,0,0),=(,,1).设平面AEF的法向量为m=(x1,y1,z1),则因此取z1=-1,则m=(0,2,-1).因为BD⊥AC,BD⊥PA,PA∩AC=A,所以BD⊥平面AFC,故为平面AFC的法向量,又=(-,3,0),所以cos===.因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.2.(2016·山东日照市高三3月模拟)在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面ABB1A1为矩形,AB=2,AA1=2,D是AA1的中点,BD与AB1交于点O,且CO⊥平面ABB1A1.(1)证明:BC⊥AB1;(2)若OC=OA,求直线CD与平面ABC所成角的正弦值.(1)证明:由题意tan∠ABD==,tan∠AB1B==,又0<∠ABD,∠AB1B<,所以∠ABD=∠AB1B,所以∠AB1B+∠BAB1=∠ABD+∠BAB1=,所以∠AOB=,所以AB1⊥BD.又CO⊥平面ABB1A1,所以AB1⊥CO,因为BD与CO交于点O,所以AB1⊥平面CBD,又BC⊂平面CBD,所以AB1⊥BC.(2)解:如图,以O为坐标原点,分别以OD,OB1,OC所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz,则A(0,-,0),B(-,0,0),C(0,0,),D(,0,0),=(-,,0),=(0,,),=(,0,-),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),则即令y=1,则z=-1,x=,所以平面ABC的一个法向量n=(,1,-1).设直线D与平面ABC所成角为α,则sinα=|cos<,n>|===为所求.3.(2016·贵阳监测考试)如图,已知四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AD∥BC,AD⊥CD,且AB⊥AC,AB=AC=PA=2,E是BC的中点.(1)求异面直线AE与PC所成的角;(2)求二面角DPCA的平面角的余弦值.解:(1)如图所示,以A点为原点建立空间直角坐标系Axyz,则B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2).故E(1,1,0),=(1,1,0),=(0,2,-2),cos<,>==,即<,>=60°,故异面直线AE与PC所成的角为60°.(2)因为AB=AC=2,AB⊥AC,所以∠ABC=∠ACB=45°,因为AD∥BC,所以∠DAC=∠ACB=45°,又AD⊥CD,所以AD=CD=,所以D(-1,1,0),又C(0,2,0),所以=(-1,-1,0),=(0,2,-2).设n=(x,y,z)是平面PCD的法向量,则⊥n,⊥n,即·n=0,·n=0,所以令x=-1得y=1,z=1,则n=(-1,1,1),|n|=.由题意得AB⊥平面PAC,所以=(2,0,0)是平面PAC的一个法向量,所以cos<,n>==-,所以二面角D-PC-A的平面角的余弦值为.4.导学号18702411如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是正方形,PD=AB=2,E为PC中点.(1)求证:DE⊥平面PCB;(2)求点C到平面DEB的距离;(3)求二面角E-BD-P的余弦值.(1)证明:因为PD⊥平面ABCD,所以PD⊥BC.又正方形ABCD中,CD⊥BC,PD∩CD=D,所以BC⊥平面PCD.因为DE⊂平面PCD,所以BC⊥DE.因为PD=CD,E是PC的中点,所以DE⊥PC.又因为PC∩BC=C,所以DE⊥平面PCB.(2)解:如图①所示,过点C作CM⊥BE于点M,由(1)知平面DEB⊥平面PCB,因为平面DEB∩平面PCB=BE,所以CM⊥平面DEB.所以线段CM的长度就是点C到平面DEB的距离.因为PD=AB=CD=2,∠PDC=90°,所以PC=2,EC=,BC=2.由题意可证得BE=.所以CM==.(3)解:以点D为坐标原点,分别以直线DA,DC,DP为x轴,y轴,z轴建立如图②所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1),=(2,2,0),=(0,1,1).设平面BDE的法向量为n1=(x,y,z),则所以令z=1,得y=-1,x=1.所以平面BDE的一个法向量为n1=(1,-1,1).又因为C(0,2,0),A(2,0,0),=(-2,2,0),且AC⊥平面PDB,所以平面PDB的一个法向量为n2=(1,-1,0).设二面角E-BD-P的平面角为α,则cosα===.5.导学号18702412如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,∠ADC=90°,AB∥CD,AD=DC=AB=,平面PBC⊥平面ABCD.(1)求证:AC⊥PB;(2)若PB=PC=,问在侧棱...
