第7节立体几何中的向量方法第一课时证明平行和垂直【选题明细表】知识点、方法题号利用向量解决平行问题1,3利用向量解决垂直问题2,41.(2014·湖北卷)如图,在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,M,N分别是棱AB,AD,A1B1,A1D1的中点,点P,Q分别在棱DD1,BB1上移动,且DP=BQ=λ(0<λ<2).(1)当λ=1时,证明:直线BC1∥平面EFPQ;(2)是否存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.解:以D为原点,射线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴的正半轴建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.由已知得B(2,2,0),C1(0,2,2),E(2,1,0),F(1,0,0),P(0,0,λ).=(-2,0,2),=(-1,0,λ),=(1,1,0).(1)证明:当λ=1时,=(-1,0,1),因为=(-2,0,2),所以=2,即BC1∥FP.而FP⊂平面EFPQ,且BC1⊄平面EFPQ,故直线BC1∥平面EFPQ.(2)设平面EFPQ的一个法向量为n=(x,y,z),则由可得于是可取n=(λ,-λ,1).同理可得平面MNPQ的一个法向量为m=(λ-2,2-λ,1).若存在λ,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.则m·n=(λ-2,2-λ,1)·(λ,-λ,1)=0,即λ(λ-2)-λ(2-λ)+1=0,解得λ=1±.故存在λ=1±,使面EFPQ与面PQMN所成的二面角为直二面角.2.(2016·济南市高三上学期期末)如图,边长为的正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直,其中AB∥CD,AB⊥BC,CD=BC=AB=1,点M在线段EC上.(1)证明:平面BDM⊥平面ADEF;(2)若EM=2MC,求平面BDM与平面ABF所成锐二面角的大小.(1)证明:如图,因为DC=BC=1,DC⊥BC,所以BD=,因为AD=,AB=2,所以AD2+BD2=AB2,所以∠ADB=90°,所以AD⊥BD,因为平面ADEF⊥平面ABCD,ED⊥AD,平面ADEF∩平面ABCD=AD,所以ED⊥平面ABCD,则BD⊥ED.因为AD∩DE=D,所以BD⊥平面ADEF,又BD⊂平面BDM,所以平面BDM⊥平面ADEF.(2)解:在平面DAB内过点D作DN⊥AB,因为AB∥CD,所以DN⊥CD,又因为ED⊥平面ABCD,所以DN⊥ED.以D为坐标原点,DN所在的直线为x轴,DC所在直线为y轴,DE所在直线为z轴,建立直角坐标系,则B(1,1,0),C(0,1,0),E(0,0,),N(1,0,0),M(0,,).设平面BMD的法向量为n1=(x,y,z),所以所以令x=1,得n1=(1,-1,).因为平面ABF的法向量n2=(1,0,0),所以cos=.所以平面BDM与平面ABF所成锐二面角是.3.(2016·枣庄市高三3月模拟)如图,在四棱柱ABCDA1B1C1D1中,侧棱AA1⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,∠ABC=120°,AB=AA1=2,AC∩BD=O,E,F分别是线段A1D,BC1的中点.延长D1A1到点G,使得D1A1=A1G.(1)证明:GB∥平面DEF;(2)求直线GD与平面DEF所成角的正弦值.证明:如图,以O为坐标原点,分别以,的方向为x轴,y轴的正方向,建立空间直角坐标系Oxyz.(1)在菱形ABCD中,AB=AD=BC=2,∠ABC=120°,所以BD=2,AC=2,O为AC和BD的中点.又AA1⊥平面ABCD,AA1=2.可得B(1,0,0),D(-1,0,0),A1(0,-,2),C1(0,,2),D1(-1,0,2).由E,F分别是线段A1D,BC1的中点,得E(-,-,1),F(,,1).由=,求得G(1,-2,2).于是=(-,,-1),=(1,,0),=(0,2,-2).设平面DEF的一个法向量n=(x,y,z).由得令y=-1,得x=,z=-.所以n=(,-1,-).所以·n=0×+2×(-1)+(-2)×(-)=0,所以⊥n.又GB⊄平面DEF,所以GB∥平面DEF.(2)由(1)得面DEF的法向量n=(,-1,-).而=(-2,2,-2),设直线GD与平面DEF所成的角为θ,则sinθ=|cos|===.4.导学号18702400如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为A1B1,B1C1,C1D1的中点.(1)求证:AG∥平面BEF;(2)试在棱BB1上找一点M,使DM⊥平面BEF,并证明你的结论.(1)证明:以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴和z轴建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(1,1,0),E(1,,1),F(,1,1),G(0,,1),=(-,,0),=(-,0,1),而=(-1,,1),所以=+,故与平面BEF共面,又因为AG不在平面BEF内,所以AG∥平面BEF.(2)解:设M(1,1,m),则=(1,1,m),由·=0,·=0,所以-+m=0m=⇒,所以M为棱BB1的中点时,DM⊥平面BEF.
