第一节平面向量的概念与线性运算[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2016·吉安三校联考)设向量a,b是两个不共线的向量,若3a-b与a+λb共线,则实数λ=()A.-B.C.-D.1.A【解析】由3a-b与a+λb共线,可设3a-b=k(a+λb),则解得λ=-.2.(2016·黄冈质检)已知平面向量m,n的夹角为,且|m|=,|n|=2,在三角形ABC中,=2m+2n,=2m-6n,D为BC边的中点,则||=()A.2B.4C.6D.82.A【解析】)=(2m+2n+2m-6n)=2m-2n,故||2=(2m-2n)2=4m2-8m·n+4n2=12-8××2×+16=4,即得||=2.3.(2015·山东高考)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则=()A.-a2B.-a2C.a2D.a23.D【解析】由题意可得a2,则=()·=||2+a2.4.设a,b是非零向量,下列四个条件中,一定能使=0成立的是()A.a=-bB.a∥bC.a=2bD.a⊥b4.A【解析】=0,即=-,则a=-·b,故向量a与向量b共线且方向相反.5.(2015·广东惠州二中模拟)已知点O,A,B不在同一条直线上,点P为该平面上一点,且,则()A.点P在线段AB上B.点P在线段AB的反向延长线上C.点P在线段AB的延长线上D.点P不在直线AB上5.B【解析】)=,即,所以点P在线段AB的反向延长线上.6.O是平面上一定点,A,B,C是该平面上不共线的三个点,一动点P满足:+λ(),λ∈(0,+∞),则直线AP一定通过△ABC的()A.外心B.内心C.重心D.垂心6.C【解析】如图,取BC中点D.∵+λ(),=λ(),即=2λ,∴A,P,D三点共线,∴AP一定通过△ABC的重心.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知O为△ABC内一点,且+2=0,则△AOC与△ABC的面积之比是.7.1∶2【解析】如图所示,取AC中点D,∴=2,∴,∴O为BD的中点,∴△AOC与△ABC的面积之比为两者高之比.8.设D,E分别是△ABC的边AB,BC上的点,AD=AB,BE=BC.若=λ1+λ2(λ1,λ2为实数),则λ1+λ2的值为.8.【解析】由于)=-=λ1+λ2,则λ1=-,λ2=,故λ1+λ2=.[高考冲关]1.(5分)(2015·武汉调研)如图所示的方格纸中有定点O,P,Q,E,F,G,H,则=()A.B.C.D.1.D【解析】在方格纸上作出,如图所示,则容易看出.2.(5分)(2015·四川高考)设四边形ABCD为平行四边形,||=6,||=4.若点M,N满足=3=2,则=()A.20B.15C.9D.62.C【解析】=()·()=()·()=×62-×42=9.3.(5分)(2015·江苏苏州中学期初考试)在△ABC中,过中线AD中点E任作一直线分别交边AB,AC于M,N两点,设=x=y(x,y≠0),则4x+y的最小值是.3.【解析】由题可知,所以,因此,由于M,E,N三点共线,所以=1(x>0,y>0),而4x+y=(4x+y)·=1++1=,当且仅当y=2x,即x=,y=时,等号成立,即4x+y的最小值为.4.(10分)如图所示,已知点G是△ABO的重心.(1)求;(2)若PQ过△ABO的重心G,且=a,=b,=ma,=nb,试探究是否为定值,如果是,写出推理过程并求出定值,如果不是说明理由.4.【解析】(1)如图所示,延长OG交AB于M点,则M是AB的中点.∴=2.∵G是△ABO的重心,∴=-2.∴=0.(2)∵M是AB边的中点,∴)=(a+b).又∵G是△ABO的重心,∴(a+b).∴(a+b)-ma=a+b.而=nb-ma,∵P,G,Q三点共线,∴有且只有一个实数λ,使得=λ.∴a+b=λnb-λma.∴a+b=0.∵a与b不共线,∴消去λ,得=3,即为定值3.
