中难提分突破特训(五)1．已知数列{an}满足：a1＝1，an＋1＝an＋，bn＝.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{an}的前n项和Sn.解(1)由an＋1＝an＋，得＝＋，又bn＝，∴bn＋1－bn＝，由a1＝1，得b1＝1，累加可得(b2－b1)＋(b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝＋＋…＋，即bn－b1＝＝1－，∴bn＝2－.(2)由(1)可知an＝2n－，设数列的前n项和为Tn，则Tn＝＋＋＋…＋，①Tn＝＋＋＋…＋，②①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝－＝2－，∴Tn＝4－.易知数列{2n}的前n项和为n(n＋1)，∴Sn＝n(n＋1)－4＋.2．如图，在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，且AB＝2DE＝2BE，点C是AB的中点，现将△ACD沿CD折起，使点A到达点P的位置．(1)求证：平面PBC⊥平面PEB；(2)若PE与平面PBC所成的角为45°，求平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值．解(1)证明： AB∥DE，AB＝2DE，点C是AB的中点，∴CB∥ED，CB＝ED，∴四边形BCDE为平行四边形，∴CD∥EB，又EB⊥AB，∴CD⊥AB，∴CD⊥PC，CD⊥BC，∴CD⊥平面PBC，∴EB⊥平面PBC，又EB⊂平面PEB，∴平面PBC⊥平面PEB.(2)由(1)知EB⊥平面PBC，∴∠EPB即为PE与平面PBC所成的角，∴∠EPB＝45°， EB⊥平面PBC，∴EB⊥PB，∴△PBE为等腰直角三角形，∴EB＝PB＝BC＝PC，故△PBC为等边三角形，取BC的中点O，连接PO，则PO⊥BC， EB⊥平面PBC，又EB⊂平面EBCD，∴平面EBCD⊥平面PBC，又PO⊂平面PBC，∴PO⊥平面EBCD，以O为坐标原点，过点O与BE平行的直线为x轴，CB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立空间直角坐标系如图，设BC＝2，则B(0,1,0)，E(2,1,0)，D(2，－1,0)，P(0,0，)，从而DE＝(0,2,0)，PE＝(2,1，－)，设平面PDE的一个法向量为m＝(x，y，z)，则由得令z＝2得m＝(，0,2)，又平面PBC的一个法向量n＝(1,0,0)，则cos〈m，n〉＝＝＝，所以，平面PDE与平面PBC所成锐二面角的余弦值为.3．有一片产量很大的水果种植园，在临近成熟时随机摘下某品种水果100个，其质量(均在1至11kg)频数分布表如下(单位：kg)：分组[1,3)[3,5)[5,7)[7,9)[9,11)频数103040155以各组数据的中间值代表这组数据的平均值，将频率视为概率．(1)由种植经验认为，种植园内的水果质量X近似服从正态分布N(μ，σ2)，其中μ近似为样本平均数x，σ2≈4.请估计该种植园内水果质量在(5.5,9.5)内的百分比；(2)现在从质量为[1,3)，[3,5)，[5,7)的三组水果中，用分层抽样方法抽取8个水果，再从这8个水果中随机抽取2个．若水果质量在[1,3)，[3,5)，[5,7)的水果每销售一个所获得的利润分别为2元、4元、6元，记随机抽取的2个水果总利润为Y元，求Y的分布列和数学期望．附：若ξ服从正态分布N(μ，σ2)，则P(μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.6826，P(μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.9544.解(1)x＝×(2×10＋4×30＋6×40＋8×15＋10×5)＝5.5，由正态分布知，P(5.5
