第3讲立体几何中的向量方法「考情研析」以空间几何体为载体考查空间角是高考命题的重点，常与空间线面关系的证明相结合，热点为二面角的求解，均以解答题的形式进行考查，难度主要体现在建立空间直角坐标系和准确计算上.核心知识回顾1.线、面的位置关系与向量的关系设直线l，m的方向向量分别为a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面α，β的法向量分别为μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)．(1)l∥m⇒a∥b⇔a＝kb⇔□a1＝ka2，b1＝kb2，c1＝kc2；(2)l⊥m⇔a⊥b⇔a·b＝□0⇔□a1a2＋b1b2＋c1c2＝0；(3)l∥α⇔a⊥μ⇔a·μ＝□0⇔□a1a3＋b1b3＋c1c3＝0；(4)l⊥α⇔a∥μ⇔a＝kμ⇔□a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3；(5)α∥β⇔μ∥v⇔μ＝kv⇔□a3＝ka4，b3＝kb4，c3＝kc4；(6)α⊥β⇔μ⊥v⇔μ·v＝□0⇔□a3a4＋b3b4＋c3c4＝0.2．三种空间角与空间向量的关系(1)线线角：设a，b分别为异面直线a，b的方向向量，则两异面直线所成的角θ满足cosθ＝□.(2)线面角：设l是斜线l的方向向量，n是平面α的法向量，则斜线l与平面α所成的角θ满足sinθ＝□.(3)二面角①如图(Ⅰ)，AB，CD是二面角α－l－β的两个半平面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝□〈AB，CD〉；②如图(Ⅱ)(Ⅲ)，n1，n2分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cosθ＝□－cos〈n1，n2〉或cos〈n1，n2〉．热点考向探究考向1利用向量证明平行与垂直例1如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.证明如图，过点D作AB垂线交AB于G，则以D为原点，DG，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，易得A(，－1，0)，B(，3,0)，C(0，2,0)，E1(，－1，1)，E，F(，1,0)，D1(0,0,2)，B1(，3,2)，C1(0,2,2)．(1)CC1＝(0,0,2)，CF＝(，－1,0)．设平面C1FC的法向量n1＝(x，y，z)，则令x＝1，得n1＝(1，，0)，又E1E＝，故E1E·n1＝0，又E1E⊄平面FCC1，所以E1E∥平面FCC1.(2)D1A＝(，－1，－2)，D1C＝(0,2，－2)，设平面D1AC的法向量n2＝(a，b，c)，由得令b＝1，得其中一个n2＝(，1,1)．同理易得平面BB1C1C的一个法向量n3＝(1，－，0)，n2·n3＝0，故平面D1AC⊥平面BB1C1C.利用空间向量证明平行与垂直的方法步骤(1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系．(2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素．(3)通过空间向量的运算研究平行、垂直关系．(4)根据运算结果解释相关问题．(2019·贵阳二模)如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝AP＝2，AB＝1，点E为棱PC的中点．证明：(1)BE⊥DC；(2)BE∥平面PAD；(3)平面PCD⊥平面PAD.证明依题意，以点A为原点建立空间直角坐标系(如图)，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)．由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)．(1)向量BE＝(0,1,1)，DC＝(2,0,0)，故BE·DC＝0.所以BE⊥DC.(2)因为PA⊥平面ABCD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为AB⊥AD，PA∩AD＝A，所以AB⊥平面PAD，所以向量AB＝(1,0,0)为平面PAD的一个法向量，而BE·AB＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以BE⊥AB，又BE⊄平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)由(2)知平面PAD的一个法向量AB＝(1,0,0)，向量PD＝(0,2，－2)，DC＝(2,0,0)，设平面PCD的法向量为n＝(x，y，z)，则即不妨令y＝1，可得n＝(0,1,1)为平面PCD的一个法向量．则n·AB＝(0,1,1)·(1,0,0)＝0，所以n⊥AB.所以平面PAD⊥平面PCD.考向2利用空间向量求空间角角度1利用空间向量求异面直线所成的角例2如图，四边形ABCD为菱形，∠ABC＝120°，E，F是平面ABCD同一侧的两点，BE⊥平面ABCD，DF⊥平面ABCD，BE＝2DF，AE⊥EC.(1)证明：平面AEC⊥平面AFC；(2)求直线AE与直线CF所成角的余弦值．解(1)证明：连接BD，设BD∩AC＝G，连接EG，FG，EF.在菱形ABCD中，不妨设GB＝1.由∠ABC＝120°，可得AG＝GC＝.由BE⊥平面ABCD，AB＝BC，可知AE＝EC.又AE⊥EC，所以EG＝，且EG⊥AC.在Rt△EBG中，...
