（课堂设计）2014-2015高中数学 2.5.1 平面几何中的向量方法学案 新人教A版必修4

2.5.1 平面几何中的向量方法自主学习 知识梳理1．向量方法在几何中的应用(1) 证 明 线 段 平 行 问 题 ， 包 括 相 似 问 题 ， 常 用 向 量 平 行 ( 共 线 ) 的 等 价 条 件 ：a∥b(b≠0)⇔________⇔____________.(2)证明垂直问题，如证明四边形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等价条件：a⊥b⇔__________⇔__________.(3) 求 夹 角 问 题 ， 往 往 利 用 向 量 的 夹 角 公 式 cos θ ＝ _______________ ＝_______________.(4)求线段的长度或证明线段相等，可以利用向量的线性运算、向量模的公式：|a|＝______.2．直线的方向向量和法向量(1)直线 y＝kx＋b 的方向向量为____________，法向量为__________．(2)直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为__________，法向量为__________． 自主探究在平行四边形中有下列的结论：平行四边形两条对角线的平方和等于两条邻边平方和的 2 倍．请用向量法给出证明．对点讲练知识点一 利用向量证明平行问题例 1 如图所示，若 ABCD 为平行四边形，EF∥AB，AE 与 BF 相交于点 N，DE 与 CF 相交于点 M.求证：MN∥AD.回顾归纳 (1)本题利用平行向量基本定理证明两直线平行，解题时要注意灵活运用已知条件．(2)向量法证明直线平行，恰是向量平行问题的一种存在形式—它们的基线无公共点．与前面例 1 比较，最大的区别在于，此处共线的两个向量没有公共端点．变式训练 1 △ABC 中，M、N 分别为 AB、AC 的中点．求证：MN∥BC.知识点二 利用向量证明垂直问题例 2 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC＝2BA，∠ABC＝60°，作 AE⊥BD 交 BC 于 E，求的值．1回顾归纳 利用向量解决平面几何问题时，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及到的向量的坐标．这两种思路都是通过向量的计算获得几何命题的证明．变式训练 2 已知 P 是正方形 ABCD 对角线 BD 上一点，PFCE 为矩形．求证：PA＝EF 且PA⊥EF.知识点三 直线方向向量的应用例 3 在△ABC 中，A(4,1)，B(7,5)，C(－4,7)，求∠A 的平分线的方程．回顾归纳 直线 Ax＋By＋C＝0 的方向向量为 v＝(B，－A)，法向量 n＝(A，B)．这两个概念在求直线方程、判断两条直线位置关系．求两条直线的夹角时非常有用．变式训练 3 在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0,1)和点 B(－3,4)，若点 C 在...