向量在抛物线中的应用 由于平面向量融数、形于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为中学数学知识的一个交汇点和联系多项内容的媒介．因此，向量的引入大大拓宽了我们解题的思路与方法，使它在研究许多问题时获得广泛的应用．利用平面向量这个工具，可以简捷、规范地处理数学中的许多问题．下面来介绍向量在抛物线中的应用． 1．解决共线问题 例 1 如图 1，设抛物线22(0)ypx p的焦点为 F，经过点 F的直线交抛物线于 A、B 两点，点 C 在抛物线的准线上，且 BCx∥轴，证明：直线 AC 经过原点． 证明：由抛物线方程22(0)ypx p，可得焦点02pF ， ，02pOF�， ，准线为2px ． 令00()OBxy�，，A、F、B 共线， 则可设(1)OAOFOB�， 所以有00(1)(1)2OApxy�，， 由 BCx∥轴，可得02pOCy �，． 又由点 A 在抛物线上，得2200(1)2(1)2yppx， 点 B 在抛物线上， 012px ， 从而200042pypOAxx�，， 即322002ppOAyy�，． 而02pOCy �，， 所以220pOAOCy�，用心 爱心 专心 即OAOC�，共线，也就是直线 AC 经过原点． 评注：向量11()xy，a，22()xy，b，共线的充要条件为ab 或12210x yx y ． 2．探求动点的轨迹方程 例 2 如图 2，设点 A 和点 B 为抛物线24(0)ypx p上原点以外的两个动点，已知OAOB，OMAB．求点 M 的轨迹方程，并说明它表示什么曲线． 解：设221212()44yyAyByM xypp，，，，，． 所以有22121244yyOAyOBypp�，，，，()OMxy�，，2221214yyAByyp�，，2114yAMxyyp�，． OAOB，∴0OA OB �，即2121()04yxyyyp， 化简，得21216y yp．① 又OMAB，∴0OM AB �，即222121()04yyxyyyp， 化简，得1204yyxyp．② 又 A、M、B 三点共线，所以AMAB�∥， 即有222121211()()0444yyyxyyyyppp， 即1212044yyy yxypp．③ 将①、②代入③式，化简整理，得 2240xypx ． 因为 A、B 是异于原点的点，所以0x ． 故点 M 的轨迹...
