§2.2.3 数学归纳法自学目标（1）了解数学归纳法原理，理解数学归纳法的概念；（2）掌握数学归纳法的证明步骤，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．学习重点，难点一．问题情境1．情境：我们已经用归纳法得到许多结论，例如，等差数列的通项公式，自然数平方和公式．这些命题都与自然数有关，自然数有无限多个，我们无法对所有的自然数逐一验证．2．问题：怎样证明一个与自然数有关的命题呢？二．讨论以下两个问题的解决方案：我们有时会做一种游戏，在一个平面上摆一排砖（每块砖都竖起），假定这排砖有无数块，我们要使所有的砖都倒下，只要做两件事就行了．第一，使第一块砖倒下；第二，保证前一块砖倒下后一定能击倒下一块砖．三．建构数学一般地，对于某些与正整数有关的数学命题，我们有数学归纳法公理：如果（1）当取第一个值（例如等）时结论正确；（2）假设当（，且）时结论正确，证明当时结论也正确．那么，命题对于从开始的所有正整数都成立．数学归纳法公理是证明有关自然数命题的依据．四．数学运用1．例题：例 1．用数学归纳法证明：等差数列中，为首项，为公差，则通项公式为．①证：（1）当时，等式左边，等式右边，等式①成立．（2）假设当时等式①成立，即，那么，当时，有．这就是说，当时等式也成立．1根据（1）和（2），可知对任何，等式①都成立．注意：（1）这两个步骤是缺一不可的．数学归纳法的步骤（1）是命题论证的基础，步骤（2）是判断命题的正确性能否递推下去的保证；（2）在数学归纳法证明有关问题的关键，在第二步，即时为什么成立？时成立是利用假设时成立，根据有关的定理、定义、公式、性质等数学结论推证出时成立，而不是直接代入，否则时也成假设了，命题并没有得到证明；（3）用数学归纳法可证明有关的正整数问题，但并不是所有的正整数问题都是用数学归纳法证明，学习时要具体问题具体分析．变式练习：用数学归纳法证明：等比数列中，为首项，为公比，则通项公式为．例 2．用数学归纳法证明：当时，．证：（1）当时，，，结论成立．（2）假设时，结论成立，即，那么．所以当时，命题也成立．根据（1）和（2），可知结论当时都成立．变式练习：用数学归纳法证明：当时2例 3.求证当取正奇数时，能被整除。证明：（1）时，，能被整除，命题成立。（2）假设 (为正奇数)时，有能被整除,当时， 以上两项均能被整除，∴能被整除，即当时命题仍成立。由（1）、（2）可知，对一切正奇数，都有能被整除．...
