高中数学 第4章 导数及其应用 4.1.3 导数的概念和几何意义学案 湘教版选修2-2-湘教版高二选修2-2数学学案

4．1.3 导数的概念和几何意义 1.理解导数的概念，能根据定义求 y＝c，y＝x，y＝x2，y＝的导数． 2.理解导数的几何意义．3．理解函数 y＝f(x)在点(x0，y0)处的导数与函数图象在点(x0，y0)处的切线的斜率间的关系．1．导数的概念(1)定义：设函数 f(x)在包含 x0的某个区间上有定义，如果比值在 d 趋于 0 时(d≠0)趋于确定的极限值，则称此极限值为函数 f(x)在 x＝x0处的导数或微商，记作 f′(x0)．(2)记法：上述定义可以简单表述为：→ f ′ ( x 0)( d →0) 读作“d 趋于 0 时，趋于 f′(x0)．”2．导函数注意到 x0是 f(x)的定义区间中的任意一点，所以也可以就是 x，而 f′(x)也是 x 的函数，叫作 f(x)的导函数(也叫作一阶导数)．导函数 f′(x)也是函数，如果 f′(x)在 x 处可导，则它的导数叫作 f(x)的二阶导数，记作 f ″(x)．类似地，可以定义三阶导数 f′″(x)等．3．平均变化率与导数平均变化率导数表达式→f′(x0)(d→0)几何意义曲线 f(x)上过两点(u，f(u))和(u＋d，f(u＋d))的割线的斜率函数的瞬时变化率1．函数 y＝2x＋1 在 x＝3 到 x＝5 的平均变化率是( )A．1 B．2C．3 D．4答案：B2．已知抛物线 y＝2x2＋1，求：(1)抛物线上哪一点处的切线的倾斜角为 45°？(2)抛物线上哪一点处的切线平行于直线 4x－y－2＝0?解：设点的坐标为(x0，y0)，则Δy＝2(x0＋d)2＋1－2x－1＝4x0·d＋2d2.所以＝4x0＋2d.即 f′(x0)＝4x0.(1)因为抛物线的切线的倾斜角为 45°，所以斜率为 tan 45°＝1.即 f′(x0)＝4x0＝1，得 x0＝，该点为(，)．(2)因为抛物线的切线平行于直线 4x－y－2＝0，1所以斜率为 4.即 f′(x0)＝4x0＝4，得 x0＝1，该点为(1，3)． 求平均变化率 已知函数 f(x)＝3x＋1 和 g(x)＝2x2＋1，分别计算在下列区间上 f(x)及 g(x)的平均变化率．(1)[－3，－1]；(2)[1，1＋d]．【解】 (1)① 对于 f(x)＝3x＋1 在区间[－3，－1]上，因为 d＝－1－(－3)＝2，f(－1)－f(－3)＝[3×(－1)＋1]－[3×(－3)＋1]＝6，所以＝＝3，即函数 f(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为 3.② 对于 g(x)＝2x2＋1 在区间[－3，－1]上，因为 d＝－1－(－3)＝2，g(－1)－g(－3)＝[2×(－1)2＋1]－[2×(－3)2＋1]＝－16，所以＝＝－8，即函数 g(x)在区间[－3，－1]上的平均变化率为－8.(2)① 对于 f(x)＝3x＋1 在区间[1，1＋d]上，因为 f(1＋d)－f(1)＝[3×(1＋d)＋1]－(3×1＋1)＝3...