4．4 生活中的优化问题举例 1.掌握解决有关函数最大值、最小值的实际问题的方法． 2.提高用有关求函数的最大值、最小值的知识解决一些实际问题的能力．1．生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大(小)值的有力工具，运用导数可以解决一些生活中的优化问题．2．解决实际应用问题时，要把问题中所涉及的几个变量转化成函数关系，这需通过分析、联想、抽象和转化完成，函数的最值要由极值和端点的函数值确定，当定义域是开区间，而且其上有唯一的极值，则它就是函数的最值．3．解决优化问题的基本思路上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程． 面积、容(体)积有关的最值问题 如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为 18 000 cm2，四周空白的宽度为 10 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为 5 cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸，能使矩形广告的面积最小？【解】 设广告的高和宽分别为 x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为(x－20) cm， cm，其中 x＞20，y＞25.两栏面积之和为 2(x－20)·＝18 000，由此得 y＝＋25.广告的面积 S(x)＝xy＝x＝＋25x，S′(x)＝＋25＝＋25.令 S′(x)＞0 得 x＞140，令 S′(x)＜0 得 20＜x＜140.所以函数在(140，＋∞)上单调递增，在(20，140)上单调递减，所以 S(x)的最小值为 S(140)．当 x＝140 时，y＝175.即当 x＝140，y＝175 时，S(x)取得最小值 24 500，故当广告的高为 140 cm，宽为 175 cm时，可使广告的面积最小．1解决面积、容积的最值问题的方法解决面积、容积的最值问题，要正确引入变量，将面积或容积表示为变量的函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函数的最值．[注意] (1)在求最值时，往往建立函数关系式，若问题中给出的量较多时，一定要通过建立各个量之间的关系，通过消元法达到建立函数关系式的目的．(2)在列函数关系式时，要注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域． 如图，四边形 ABCD 是一块边长为 4 km 的正方形地域，地域内有一条河流 MD，其经过的路线是以 AB 的中点 M 为顶点且开口向右的抛物线(河流宽度忽略不计)．新长城公司准备投资建一个大型矩形游乐园PQCN，问如何施工才能使游乐园的面积最大？并求出最大面积．解：以 M 为原点，AB 所在直线为 y 轴建立直角坐标系，...
