2.2.2 间接证明课堂导学三点剖析各个击破一、证明数学中的基础命题宜用反证法【例 1】求证:质数有无穷多.证明：如果质数的个数有限,那么我们可以将全体质数列举如下:p1,p2,…,pk,令 q=p1p2…pk+1.q 总是有质因数的,但我们可证明任何一个 pi(1≤i≤k)都除不尽 q.假若不然,由 pi除尽q,及 pi除尽 p1,p2,…pk,可得到 pi除尽(q-p1p2…pk),即 pi除尽 1,这是不可能的.故任何一个pi都除不尽 q.这说明 q 有不同于 p1,p2,…,pk的质因数.这与只有 p1,p2,…,pk是全体质数的假定相矛盾.所以质数有无穷多.温馨提示用反证法证明结论是 B 的命题,其思路是:假定 B 不成立,则 B 的反面成立,然后从 B 的反面成立的假定出发,利用一些公理\,定理\,定义等作出一系列正确的推理,最后推出矛盾的结果,从而判断“假设 B 不成立”是错误的.则 B 成立.类题演练 1证明:1, 3 ,2 不能为同一等差数列的三项.证明：假设 1， 3 ，2 为某一等差数列的三项，设这一等差数列的公差为 d，则 1= 3 -md,2= 3 +nd，其中 m,n 为某两个正整数，由上面两式消去 d，得2m+n=(m+n) 3 ,因为 n+2m 为有理数，而（m+n） 3 为无理数，所以 n+2m≠(n+m) 3 ,因此假设不成立，即 1， 3 ，2 不能为同一等差数列的三项.变式提升 1a、b 是平面内的两条直线,求证:它们最多有一个交点.证明：假设直线 a、b 至少有两个交点 A 和 B，则通过不同的两点有两条直线，这就与公理“经过两点有且只有一条直线”相矛盾，所以平面内的两条直线最多有一个交点.二、某些数学问题的证明可用反证法【例 2】 已知 a、b、c∈(0,1),求证:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 41 .证法一:假设三同时大于 41 ,即(1-a)b＞ 41 ,(1-b)c＞ 41 ,(1-c)a＞ 41 ,三相乘,得:(1-a)a·(1-b)b·(1-c)c＞ 641 .又(1-a)a≤(2aa1)2= 41 .1同理,(1-b)b≤ 41 ,(1-c)c≤ 41 .以上三相乘得(1-a)a(1-b)b(1-c)c≤ 641 ,这与(1-a)a(1-b)b(1-c)c＞ 641 矛盾,故结论得证.证法二:假设三同时大于 41 . 0＜a＜1,∴1-a＞0.2141a)b-(12ba)-(1.同理,212ac)-(1,212cb)-(1.三相加得2323 矛盾,∴原命题成立.温馨提示要想得到原命题相反的判断,必先弄清原命题的含义,一般讲,如“是”的反面是“不是”，“有”的反面是“没有”，“等”的反面是“不等”，“成立”的反面是“不成立”，“有限”的反面是“无限”，以上这些都是相互否定的字眼，...
