高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算（二）学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

3.2 复数的四则运算（二）学习目标 1.进一步熟练掌握复数的乘法运算，了解复数的乘方，正整数指数幂的运算律在复数范围内仍成立.2.理解复数商的定义，能够进行复数除法运算.3.了解 i 幂的周期性．知识点一 复数的乘方与 in(n∈N*)的周期性思考 计算 i5，i6，i7，i8的值，你能推测 in(n∈N*)的值有什么规律吗？ 1．复数范围内正整数指数幂的运算性质对任何 z，z1，z2∈C 及 m，n∈N*，有 zmzn＝zm＋n，(zm)n＝________，(z1z2)n＝zz.2．虚数单位 in(n∈N*)的周期性i4n＝__________，i4n＋1＝__________，i4n＋2＝__________，i4n＋3＝__________.知识点二 复数的除法思考 如何规定两复数 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)相除？ 把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数 x＋yi(x，y∈R)叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商．且 x＋yi＝＝＋i.类型一 i 的运算性质例 1 计算下列各式的值．(1)1＋i＋i2＋…＋i2 017.(2)(1－)2 014＋(1－i)2 014.(3)(－＋i)3. 反思与感悟 (1)虚数单位 i 的性质：①i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＝1(n∈N*)．②i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N*)．(2)复数的乘方运算，要充分运用(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，＝－i 等一些重要结论简化运算．(3)设 ω＝－＋i，则 ω3＝1，ω2＋ω＋1＝0，ω2＝.跟踪训练 1 计算下列各式：(1)i2 006＋(＋i)8－()50.(2)(－1－i)3＋(－1＋i)3. 类型二 复数的除法例 2 (1)设 z＝1＋i(i 是虚数单位)，则＋z2＝__________.(2)复数 z＝的共轭复数是____________．反思与感悟 (1)这类问题求解的关键在于“分母实数化”类似于根式除法的分母“有理化”．(2)复数除法的运算结果一般写成实部与虚部分开的形式．跟踪训练 2 (1)设 i 是虚数单位，则＝________.(2)复数 z 满足(1＋2i)＝4＋3i，则 z＝________.类型三 复数四则运算的综合应用例 3 计算下列各式：(1)＋(5＋i2)－()2；(2). 反思与感悟 (1)进行复数四则混合运算时，要先算乘方，再算乘除，最后计算加减．(2)复数乘法、除法运算中注意一些结论的应用．①＝＝＝i.利用此法可将一些特殊类型的计算过程简化；② 记住一些简单结论如＝－i，＝i，＝－i，(1±i)2＝±2i 等．跟踪训练 3 复数 z＝，若 z2＋<0，求纯虚数 a. 1．设 i 为虚数单位，则复数＝____________.2.＋＝______________.3．如果复数的实部与虚部互为相反数，那么实...