高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算（二）学案 苏教版选修2-2-苏教版高二选修2-2数学学案

3．2 复数的四则运算(二) 1.了解复数乘方的运算性质和复数除法的分母实数化方法． 2.理解 i 幂性质，能熟练进行复数的乘方和除法运算． 3．掌握综合运用复数概念、共轭复数及复数的四则运算解决问题．1．复数的乘方在复数范围内，实数范围内的正整数指数幂的运算律仍然成立 ，即对任意的复数z，z1，z2和正整数 m，n 有 zmzn＝z m ＋ n ，(zm)n＝z mn ＝( z n ) m ，(z1z2)n＝z z ．2．i 幂性质一般地，如果 n∈N*，我们有① i4n＝1；② i4n＋1＝i；③ i4n＋2＝－ 1 ；④ i4n＋3＝－ i ．3．复数的除法法则(1)我们把满足(c＋di)(x＋yi)＝a＋bi(c＋di≠0)的复数 x＋yi(x，y∈R)叫做复数 a＋bi 除以复数 c＋di 的商，记作或( a ＋ b i )÷( c ＋ d i ) ．(2)一般地，我们有＝＝＋i.(3)两个复数的商仍是一个复数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个复数的积与商一定是虚数．( )(2)两个共轭复数的和与积是实数．( )(3)复数加减乘除的混合运算法则是先乘除，后加减．( )答案：(1)× (2)√ (3)√2.＝( )A．1＋2i B．－1＋2iC．1－2i D．－1－2i答案：B3．复数(i 为虚数单位)的实部等于________．答案：－34．已知 z 是纯虚数，是实数，那么 z 等于________．解析：因为 z 为纯虚数，所以设 z＝bi(b∈R 且 b≠0)，则＝＝＝＝＝＋(b＋2)i，又为实数，所以(b＋2)＝0，即 b＝－2.所以 z＝－2i.答案：－2i 复数的乘方运算 (1)等于________．(2)化简 i＋2i2＋3i3＋…＋100i100.【解】 (1)＝＝＝i2 017＝(i4)504·i＝1504·i＝i.故填 i.(2)设 S＝i＋2i2＋3i3＋…＋100i100，①所以 iS＝i2＋2i3＋…＋99i100＋100i101，②①－②得(1－i)S＝i＋i2＋i3＋…＋i100－100i101＝－100i101＝0－100i＝－100i.所以 S＝＝＝＝50－50i.所以 i＋2i2＋3i3＋…＋100i100＝50－50i.(1)等差、等比数列的求和公式在复数集 C 中仍适用，i 的周期性要记熟，即 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝0(n∈N*)．(2)记住以下结果，可提高运算速度．①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i. ②＝－i，＝i.③＝－i. 1.计算：(1)＋；(2)i＋i2＋…＋i2 017.解：(1)原式＝＋＝i(1＋i)＋(－i)1 008＝i＋i2＋(－1)1 008·i1 008＝i－1＋i4×252＝i－1＋1＝i.(2)法一：原式＝＝＝＝＝＝＝i.法二：因为 in＋in＋1＋in＋2＋in＋3＝in(1＋i＋i2＋i3)＝0(n∈N*)，所以原式＝(i＋i2＋i3＋i4)＋(i5＋i6＋i7＋i8)...