高中数学 第3章 数系的扩充与复数的引入 3.3 复数的几何意义互动课堂学案 苏教版选修1-2-苏教版高二选修1-2数学学案

3.3 复数的几何意义互动课堂疏导引导1.复数的几何意义 复数的几何意义实质是复数的两种几何表示方法，即复数的点表示和向量表示.复数对应的点与复数对应的向量之间是一一对应的关系.复数 z=a+bi 对应的向量的模叫做复数的模，它是复数对应的点到原点的距离，具体公式是｜z｜=22ba .2.注意以下问题(1)① 复平面上虚轴含原点；② AB与OB模相等且同向，则它们表示同一复数，但是只有向量的起点在原点 O 时，此向量才与它的终点表示同一复数；③对于复数 z=a+bi，若无a、b∈R 这一条件，就不能视 a 为实部，b 为虚部，在理解概念时，要善于利用数形结合的思想.(2)抓住复数的分类，明确复数问题实数化是解决问题的最基本的思想方法，其依据是复数的有关概念和两个复数相等的条件.(3)数的概念扩展为复数后，实数集中有些概念、运算、性质不再适用，如不等式的性质、绝对值的定义、偶次方非负等.(4)复数集 C 和复平面内所有的点组成的集合是一一对应的,复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量组成的集合也是一一对应的. 即 这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),增加了解决复数问题的途径.(5)应注意,复数 z=a+bi 用复平面内的点 Z(a,b)表示,复平面内的点 Z 的坐标是(a,b),而不是(a,bi).(6)对于复数 a+bi(a、b∈R),当 b=0 时,复数 a+bi 就是实数,由上面的公式,有|a|=2a.这与以前关于实数的绝对值及算术平方根的规定一致,可见,复数的模就是实数的绝对值概念的扩充.3.复数加法的几何意义 复数的加法可以按照向量的加法来进行.4.复数减法的几何意义 复数的减法可以按照向量的减法来进行.5.复平面内的两点间距离公式d=|z2-z1|,其中 z1、z2是复平面内的两点 Z1和 Z2所对应的复数,d 为 Z1和 Z2间的距离.进一步,模的性质有(1)|z|=|z|;(2)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(3)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).6.在复平面内,四边形 OACB 的顶点 A、B、C 对应的复数分别为 z1、z2、z1+z2,则四边形 OACB 为1平行四边形.进一步有(1)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为矩形;(2)若|z1|=|z2|,则四边形 OACB 为菱形;(3)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形 OACB 为正方形.活学巧用例 1 已知复数 x2-6x+5+(x-2)i 在复平面内对应的点在第三象限，求实数 x 的范围.解： x 为实数，∴x2-6x+5 和 x-2...