1．3.1 函数的单调性与导数预习课本 P22～26，思考并完成下列问题(1)函数的单调性与导数的正负有什么关系？ (2)利用导数判断函数单调性的步骤是什么？ (3)怎样求函数的单调区间？ 1．函数的单调性与其导数正负的关系在某个区间(a，b)内，如果 f′(x)＞0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递增；如果 f′(x)＜0，那么函数 y＝f(x)在这个区间内单调递减；如果恒有 f′(x)＝0，那么函数y＝f(x)在这个区间内是常数函数．[点睛] 对函数的单调性与其导数正负的关系的两点说明(1)若在某区间上有有限个点使 f′(x)＝0，在其余的点恒有 f′(x)>0，则 f(x)仍为增函数(减函数的情形完全类似)．(2)f(x)为增函数的充要条件是对任意的 x∈(a，b)都有 f′(x)≥0 且在(a，b)内的任一非空子区间上 f′(x)不恒为 0.2．函数图象的变化趋势与导数值大小的关系如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化的快，其图象比较陡峭．即|f′(x)|越大，则函数 f(x)的切线的斜率越大，函数 f(x)的变化率就越大．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)函数 f(x)在定义域上都有 f′(x)>0，则函数 f(x)在定义域上单调递增．( )(2)函数在某一点的导数越大，函数在该点处的切线越“陡峭”．( )(3)函数在某个区间上变化越快，函数在这个区间上导数的绝对值越大．( )答案：(1)× (2)× (3)√2．函数 f(x)＝(x－3)ex的单调递增区间是( )A．(－∞，2) B．(0,3)C．(1,4) D．(2，＋∞)答案：D3．函数 f(x)＝2x－sin x 在(－∞，＋∞)上( )A．是增函数B．是减函数C．在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减D．在(0，＋∞)上单调递减，在(－∞，0)上单调递增答案：A4. 函数 y＝x3＋x 在(－∞，＋∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的．答案：上升 判断或讨论函数的单调性[典例] 已知函数 f(x)＝ax3－3x2＋1－，讨论函数 f(x)的单调性．[解] 由题设知 a≠0.f′(x)＝3ax2－6x＝3ax，令 f′(x)＝0，得 x1＝0，x2＝.当 a>0 时，若 x∈(－∞，0)，则 f′(x)>0.∴f(x)在区间(－∞，0)上为增函数．若 x∈，则 f′(x)<0，∴f(x)在区间上为减函数．若 x∈，则 f′(x)>0，∴f(x)在区间上是增函数．当 a<0 时，若 x∈，则 f′(x)<0.∴f(x)在上是减函数．若 x∈，则 f′(x)>0.∴f(x)在区间上为增函数．若 x∈(0，＋∞)，则 f′(x)<0.∴f(x)在区间(0，＋∞)上为减函数． 利用导数...
