1．5.1 柱 坐 标 系[读教材·填要点]1．柱坐标系的概念设空间中一点 M 的直角坐标为(x，y，z)，M 点在 xOy 坐标面上的投影点为 M0，M0点在 xOy平面上的极坐标为(ρ，θ)，则三个有序数 ρ，θ，z 构成的数组( ρ ， θ ， z ) 称为空间中点 M的柱坐标．在柱坐标中，限定 ρ≥0,0≤θ<2π，z 为任意实数．2．直角坐标与柱坐标的转化空间点 M 的直角坐标(x，y，z)与柱坐标(ρ，θ，z)之间的变换公式为[小问题·大思维]1．柱坐标与平面上的极坐标之间有什么关系？提示：柱坐标就是平面上的极坐标加上与平面垂直的一个直角坐标．2．在极坐标中，方程 ρ＝ρ0(ρ0为正常数)表示圆心在极点，半径为 ρ0的圆，方程 θ＝θ0(θ0为常数)表示与极轴成 θ0角的射线．那么，在柱坐标系中，上述方程又分别表示什么图形？提示：在空间的柱坐标系中，方程 ρ＝ρ0表示中心轴为 z 轴，底半径为 ρ0的圆柱面，它是上述圆周沿 z 轴方向平行移动而成的．方程 θ＝θ0表示与 zOx 坐标面成 θ0角的半平面．将直角坐标化为柱坐标[例 1] 已知空间点 M 的直角坐标为(4，4,3)，求它的柱坐标．[思路点拨] 本题主要考查将直角坐标化为柱坐标的方法．解答此题需要明确各坐标的意义，然后将其代入相应公式即可解决．[精解详析] 由公式得 ρ2＝x2＋y2，z＝3.∴ρ2＝(4)2＋(4)2＝48＋16＝64.∴ρ＝8.tan θ＝＝＝，又 x>0，y>0，点在第一象限，∴θ＝.∴点 M 的柱坐标为.已知点的直角坐标，确定它的柱坐标的关键是确定 ρ 和 θ，尤其是 θ.要注意求出 tan θ，还要根据点 M 所在的象限确定 θ 的值(θ 的范围是[0,2π))．1．点 M 的直角坐标为(，1，－2)，则它的柱坐标为( )1A. B.C. D.解析：选 C ρ＝＝2，tan θ＝＝，∴点 M 的柱坐标为.将柱坐标化为直角坐标[例 2] 已知点 M 的柱坐标为，求它的直角坐标．[思路点拨] 本题考查柱坐标与直角坐标的转化．解答本题只要将已知点的柱坐标代入相应的公式即可．[精解详析] M 点的柱坐标为，∴ρ＝8，θ＝.由公式得即∴M 点的直角坐标为(4，4,4)．已知柱坐标，求直角坐标直接利用变换公式即可．2．已知点 M 的柱坐标为(，，1)，求 M 关于原点 O 对称的点的柱坐标．解：M 的直角坐标为∴M 关于原点 O 的对称点的直角坐标为(－1，－1，－1)．ρ2＝(－1)2＋(－1)2＝2，∴ρ＝.tan θ＝＝1，又 x＜0，y＜0，∴θ＝.∴其柱坐标为.∴M 关于...
