高中数学 第一章 坐标系 一 平面直角坐标系教学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学教学案

一 平面直角坐标系 1．平面直角坐标系(1)平面直角坐标系的作用：使平面上的点与坐标、曲线与方程建立联系，从而实现数与形的结合．(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步：建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论．2．平面直角坐标系中的伸缩变换(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归纳为坐标伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换．(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点 P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换 φ：的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，y′)，称为φ平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 用坐标法解决几何问题[例 1] 已知△ABC 中，AB＝AC，BD、CE 分别为两腰上的高．求证：BD＝CE.[思路点拨] 由于△ABC 为等腰三角形，故可以 BC 为 x 轴，以 BC 中点为坐标原点建立直角坐标系，在坐标系中解决问题．[证明] 如图，以 BC 所在直线为 x 轴，BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系．设 B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)．则直线 AC 的方程为y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0.直线 AB 的方程为 y＝x＋h，即：hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式：得|BD|＝，|CE|＝.∴|BD|＝|CE|，即 BD＝CE.建立平面直角坐标系的原则根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点，②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴，③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上．1．求证等腰梯形对角线相等．已知：等腰梯形 ABCD.求证：AC＝BD.证明：取 B、C 所在直线为 x 轴，线段 BC 的中垂线为 y 轴，建立如图所示的直角坐标系．设 A(－a，h)，B(－b,0)，则 D(a，h)，C(b,0)．∴|AC|＝，|BD|＝.∴|AC|＝|BD|，即等腰梯形 ABCD 中，AC＝BD.2．已知△ABC 中，BD＝CD，求证：AB2＋AC2＝2(AD2＋BD2)．证明：以 A 为坐标原点 O，AB 所在直线为 x 轴，建立平面直角坐系 xOy，则 A(0,0)．设 B(a,0)，C(b，c)，则 D(，)，所以 AD2＋BD2＝＋＋＋＝(a2＋b2＋c2)，AB2＋AC2＝a2＋b2＋c2＝2(AD2＋BD2).用平面直角坐标系解决实际问题[例 2] 如图所示，A，B，C 是三个观察站，A 在 B 的正东，两地相距 6 km，C 在 B 的北偏西 30°，两地相距 4 km，在某一时刻，A 观察...