高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系课堂探究学案 新人教A版选修4-4-新人教A版高二选修4-4数学学案

一 平面直角坐标系课堂探究探究一 用平面直角坐标系解决实际问题解决此类问题的关键是：如何建立平面直角坐标系，将几何位置量化，通过有关距离的知识求解．另外，我们还要注意数形结合的思想方法的应用．【例题 1】已知 B 村庄位于 A 村庄的正西方向 1 km 处，原计划在经过 B 村庄且沿着北偏东 60°的方向上埋设一条地下管线 l，但在 A 村庄的西北方向 400 m 处，发现一古代文物遗址 W.根据初步勘察的结果，文物管理部门将遗址 W 周围 100 m 范围划为禁区．试问，埋设地下管线 l 的计划需要修改吗？思路分析：解决这一问题的关键，在于确定遗址 W 与地下管线 l 的相对位置，如图以 A 为坐标原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴和 y 轴的正方向，建立平面直角坐标系，只要求出点 W 到直线 l 的距离，则问题即可解决．解：以 A 为坐标原点，正东方向和正北方向分别为 x 轴、y 轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(－1 000,0)．由 W 位于 A 的西北方向及|AW|＝400，得 W(－200，200)．由直线 l 过点 B 且倾斜角为 90°－60°＝30°，得直线 l 的方程是 x－y＋1 000＝0.于是，点 W 到直线 l 的距离为d＝＝＝500－100(＋)≈114＞100，所以埋设地下管线 l 的计划不需要修改．点评 合理建立坐标系是解决此类问题的关键，如果坐标系建立得合理，可以简化我们的计算，并且使问题的结论清晰明了、具体形象，反之，将会带来计算的繁琐，结果也不明确．探究二 平面直角坐标系下的轨迹问题在解决能够判断曲线类型的问题时，待定系数法是求其标准方程的最佳选择；而不能判断其曲线类型时，则需要找准相等关系解决．【例题 2】如图，在以点 O 为圆心，|AB|＝4 为直径的半圆 ADB 中，OD⊥AB，P 是半圆弧上一点，∠POB＝30°，曲线 C 是满足||MA|－|MB||为定值的动点 M 的轨迹，且曲线 C 过点 P.建立适当的平面直角坐标系，求曲线 C 的方程．思路分析：由曲线 C 上的点 M 满足的条件可以判断出曲线的类型是双曲线，从而可以用1待定系数法来求其方程．解：以 O 为坐标原点，AB，OD 所在直线分别为 x 轴、y 轴，建立平面直角坐标系(坐标系略)，则 A(－2,0)，B(2,0)，D(0,2)，P(，1)，依题意得||MA|－|MB||＝|PA|－|PB|＝－＝(＋)－(－)＝2＜|AB|＝4.所以曲线 C 是以原点为中心，A，B 为焦点的双曲线．设实半轴长为 a，虚半轴长为 b，半焦距为 ...