高中数学 第三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2复数代数形式的乘除运算同步学案 新人教A版选修1-2-新人教A版高二选修1-2数学学案VIP专享

3.2.2 复数代数形式的乘除运算学习目标 1.掌握复数代数形式的四则运算法则，熟练地运用复数的乘法、除法的运算法则.2.理解复数乘法的交换律、结合律、分配律.3.理解并掌握共轭复数的性质及应用．知识点一 复数的乘法及运算律思考 请你探究 in(n∈N*)的取值情况及其规律．答案 in(n∈N*)的取值只有 i，－1，－i,1，且具有周期性，具体取值规律为：i4k＋1＝i，i4k＋2＝－1，i4k＋3＝－i，i4k＝1，k∈N.梳理 (1)复数的乘法法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di 是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i .(2)复数乘法的运算律对于任意 z1，z2，z3∈C，有交换律z1z2＝z2z1结合律(z1z2)z3＝z1( z 2z3)乘法对加法的分配律z1(z2＋z3)＝z1z2＋ z 1z3知识点二 共轭复数思考 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个怎样的数？与复数的模的关系是什么？答案 当两个复数互为共轭复数时，它们的乘积是一个实数，且有 z·＝|z|2＝||2.事实上，若 z＝a＋bi(a，b∈R)，那么 z·＝(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2.梳理 (1)共轭复数的概念一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于 0 的两个共轭复数也叫做共轭虚数．z 的共轭复数用表示．若 z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi.(2)共轭复数的性质① 在复平面内，两个共轭复数对应的点关于实轴对称．② 实数的共轭复数是它本身，即 z＝⇔z∈R，利用这个性质可证明一个复数为实数．③ 若 z≠0 且 z＋＝0，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数．④a.z·＝|z|2＝||2；b.|z|＝||；c.z＋＝2a，z－＝2bi(z＝a＋bi，a，b∈R)．知识点三 复数的除法法则1．复数的除法法则设 z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)，则＝＝＋i.复数的除法的实质是分母实数化．若分母为 a＋bi 型，则分子、分母同乘 a－bi；若分母为a－bi 型，则分子、分母同乘 a＋bi.2．实数的平方根设 a∈R，当 a＝0 时，a 的平方根为 0；当 a>0 时，a 的平方根是两个实数±；当 a<0 时，a的平方根是两个共轭纯虚数±i.3．虚数的平方根设 z＝a＋bi(a，b∈R 且 b≠0)，x＋yi(x，y∈R)是 z＝a＋bi 的平方根，则有(x＋yi)2＝a＋bi，即 x2－y2＋2xyi＝a＋bi，所以有解方程组求出 x，y 的值即可．1．复数加减乘除的混合运算法则是先乘除后加减．( √ )2．两个共轭复数的和与积是实数．( ...