高中数学 第二章 推理与证明 2.2 第4课时 直接证明与间接证明综合应用学案 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学学案

2.2 第 4 课时 直接证明与间接证明综合应用一、课时目标1．进一步巩固综合法、分析法、反证法在证明问题中的应用．2．通过典型例题，使同学们区分综合法、分析法、反证法，并学会根据不同的题目选择不同的方法．二、典例导析例 1 设0ba且ba  ，求证2233abbaba．思路导析：这个不等式是常见的不等式，同学可以用比较法，也可以用分析法。当然利用综合法证明也可以。其中比较法和分析法易于上手.证法一（综合法）：因为ba  ，所以0 ba，所以0)(2  ba，即0222baba，所以abbaba22，又因为0ba，所以)())((22baabbababa，即2233abbaba．证法二（分析法）：要证明命题成立，即证明)())((22baabbababa成立，因0ba，故只需证明abbaba22成立，即证明0222baba成立，即证明0)(2  ba成立，由于ba  （已知），故0 ba，所以0)(2  ba成立，因此原命题得证．规律总结：一题多解可以帮助我们熟悉基本的证题方法，同学们思考问题时，尽量从多角度思考。变式训练（1）证明:若0,ba,则2lglg2lgbaba.例 2 已知1abRab、 、，且，求证 1125() ()4abab。证明：因为1abRab、 、，且欲证1125() ()4abab只需证222225104a babab  因为1ab ，222()212abababab 所以，只需证2233204a bab ，即证 1(8)()04abab ，由于 1abRab、 、，且，所以 21()24abab1因此 1(8)0,04abab ，所以 1(8)()04abab ，因上述推理步步可逆，所以原不等式成立。规律总结：这个一道经典的题目，证明方法很多。但以分析法思路最自然流畅。不过不习惯分析法表述的同学用分析法分析之后可考虑用综合法表述。变式训练（2）已知0 ba,求证baba.例 3 已知 a,b,c∈(0，1)，求证：)1(ab,(1-b)c,(1-c)a 不能同时大于 41 ．思路导析：本题要证明的结论特征提醒我们可以用反证法，具体证明时所证结论的反面要找准。证明：假设三式同时大于 41 ，即)1(ab＞ 41 ，(1-b)c＞ 41 ,(1-c)a ＞ 41 .因为 O0，所以2141)1(2)1(baba，同理212)1(cb,212)1(ac,三式相加得2323 ，矛盾，即假设错误，所以原命题成立．规律总结：假设结论的反面成立,然后通过推理得到了2323 ,这是明显的矛盾,从而可以...