题型练9大题综合练(一)1.(2019天津,文16)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知b+c=2a,3csinB=4asinC.(1)求cosB的值;(2)求sin(2B+π6)的值.2.某公司计划购买1台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图:记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数,y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位:元),n表示购机的同时购买的易损零件数.(1)若n=19,求y与x的函数解析式;(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5,求n的最小值;(3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件,或每台都购买20个易损零件,分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数,以此作为决策依据,购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件?3.如图,在三棱锥P-ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=π2,点D,E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.(1)证明:AB⊥平面PFE;(2)若四棱锥P-DFBC的体积为7,求线段BC的长.4.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知直线l:x-y-2=0,抛物线C:y2=2px(p>0).(1)若直线l过抛物线C的焦点,求抛物线C的方程;(2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.①求证:线段PQ的中点坐标为(2-p,-p);②求p的取值范围.5.已知曲线f(x)=lnx+kex在点(1,f(1))处的切线与y轴垂直,F(x)=xexf'(x).(1)求k的值和F(x)的单调区间;(2)已知函数g(x)=-x2+2ax(a为正实数),若对于任意x2∈[0,1],总存在x1∈(0,+∞)使得g(x2)19时,y=3800+500(x-19)=500x-5700.所以y与x的函数解析式为y={3800,x≤19,500x-5700,x>19,(x∈N).(2)由柱状图知,需更换的零件数不大于18的频率为0.46,不大于19的频率为0.7,故n的最小值为19.(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件,则这100台机器中有70台在购买易损零件上的费用为3800,20台的费用为4300,10台的费用为4800,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(3800×70+4300×20+4800×10)=4000.若每台机器在购机同时都购买20个易损零件,则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4000,10台的费用为4500,因此这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为1100(4000×90+4500×10)=4050.比较两个平均数可知,购买1台机器的同时应购买19个易损零件.3.(1)证明由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC.又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.因∠ABC=π2,EF∥BC,故AB⊥EF.从而AB与平面PFE内两条相交直线PE,EF都垂直,所以AB⊥平面PFE.(2)解设BC=x,则在Rt△ABC中,AB=√AC2-BC2=√36-x2,从而S△ABC=12AB·BC=12x√36-x2.由EF∥BC知,AFAB=AEAC=23,得△AFE∽△ABC,故S△AFES△ABC=(23)2=49,即S△AFE=49S△ABC.由AD=12AE,S△AFD=12S△AFE=12·49S△ABC=29S△ABC=19x√36-x2,从而四边形DFBC的面积为S四边形DFBC=S△ABC-S△AFD=12x√36-x2−19x√36-x2=718x√36-x2.由(1)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P-DFBC的高.在直角△PEC中,PE=√PC2-EC2=√42-22=2√3.体积VP-DFBC=13·S四边形DFBC·PE=13·718x√36-x2·2√3=7,故得x4-36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3√3.所以,BC=3或BC=3√3.4.解(1)抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为(p2,0),由点(p2,0)在直线l:x-y-2=0上,得p2-0-2=0,即p=4.所以抛物线C的方程为y2=8x.(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),线段PQ的中点M(x0,y0).因为点P和Q关...
