课时跟踪检测(二十八)复数一抓基础,多练小题做到眼疾手快1.(2015·安徽高考改编)设i是虚数单位,则复数在复平面内所对应的点位于第________象限.解析:===-1+i,由复数的几何意义知-1+i在复平面内的对应点为(-1,1),该点位于第二象限.答案:二2.(2016·西安质检)已知复数z1=2+i,z2=1-2i.若z=,则=________.解析:z=====i,=-i.答案:-i3.若复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则的虚部为________.解析:由题意得所以a=1,所以===-i,根据虚部的概念,可得的虚部为-.答案:-4.复数|1+i|+2=________.解析:原式=+=+=+i-=i.答案:i5.(2015·重庆高考)设复数a+bi(a,b∈R)的模为,则(a+bi)(a-bi)=________.解析:∵|a+bi|==,∴(a+bi)(a-bi)=a2+b2=3.答案:3二保高考,全练题型做到高考达标1.复数z=(i为虚数单位)的共轭复数在复平面上对应的点在第________象限.解析:z====--i,则=-+i在复平面内对应的点在第二象限.答案:二2.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则|z1+z2|=________.解析:由题图可知,z1=-2-i,z2=i,则z1+z2=-2,∴|z1+z2|=2.答案:23.(2015·苏北四市调研)已知复数z=1+,则1+z+z2+…+z2015=________.解析:z=1+=1+=i,∴1+z+z2+…+z2015====0.答案:04.(2016·无锡调研)已知i是虚数单位,若z1=a+i,z2=a-i,若为纯虚数,则实数a=________.解析:===是纯虚数,∴解得a=±.答案:±5.(2016·浙江摸底)已知i是虚数单位,若=b+i(a,b∈R),则ab的值为________.解析:由=b+i,得==3-ai=b+i,所以b=3,a=-1,则ab=-3.答案:-36.(2016·徐州统考)若复数z满足z=i(2+z)(i为虚数单位),则z=________.解析:∵z=i(2+z),∴(1-i)z=2i,∴z===i(1+i)=-1+i.答案:-1+i7.已知a∈R,若为实数,则a=________.解析:===+i,∵为实数,∴=0,∴a=-.答案:-8.定义:若z2=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),则称复数z是复数a+bi的平方根.根据定义,则复数-3+4i的平方根是________.解析:设(x+yi)2=-3+4i,则解得或答案:1+2i或-1-2i9.已知复数z1=-1+2i,z2=1-i,z3=3-4i,它们在复平面上对应的点分别为A,B,C,若=λ+μ,(λ,μ∈R),求λ+μ的值.解:由条件得=(3,-4),=(-1,2),=(1,-1),根据=λ+μ,得(3,-4)=λ(-1,2)+μ(1,-1)=(-λ+μ,2λ-μ),所以解得所以λ+μ=1.10.计算:(1);(2);(3)+;(4).解:(1)==-1-3i.(2)====+i.(3)+=+=+=-1.(4)====--i.三上台阶,自主选做志在冲刺名校1.复数z1,z2满足z1=m+(4-m2)i,z2=2cosθ+(λ+3sinθ)i(m,λ,θ∈R),并且z1=z2,则λ的取值范围是________.解析:由复数相等的充要条件可得化简得4-4cos2θ=λ+3sinθ,由此可得λ=-4cos2θ-3sinθ+4=-4(1-sin2θ)-3sinθ+4=4sin2θ-3sinθ=42-,因为sinθ∈[-1,1],所以4sin2θ-3sinθ∈.答案:2.已知复数z1=cos15°+sin15°i和复数z2=cos45°+sin45°i,则z1·z2=________.解析:z1·z2=(cos15°+sin15°i)(cos45°+sin45°i)=(cos15°cos45°-sin15°·sin45°)+(sin15°cos45°+cos15°sin45°)i=cos60°+sin60°i=+i.答案:+i3.复数z1=+(10-a2)i,z2=+(2a-5)i,若+z2是实数,求实数a的值.解:+z2=+(a2-10)i++(2a-5)i=+[(a2-10)+(2a-5)]i=+(a2+2a-15)i.∵+z2是实数,∴a2+2a-15=0,解得a=-5或a=3.∵a+5≠0,∴a≠-5,故a=3.