第7讲立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直一、选择题1.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为n＝(－2，0，－4)，则()A.l∥αB.l⊥αC.l⊂αD.l与α相交解析 n＝－2a，∴a与平面α的法向量平行，∴l⊥α.答案B2.若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析 AB＝λCD＋μCE，∴AB，CD，CE共面.则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D3.已知平面α内有一点M(1，－1，2)，平面α的一个法向量为n＝(6，－3，6)，则下列点P中，在平面α内的是()A.P(2，3，3)B.P(－2，0，1)C.P(－4，4，0)D.P(3，－3，4)解析逐一验证法，对于选项A，MP＝(1，4，1)，∴MP·n＝6－12＋6＝0，∴MP⊥n，∴点P在平面α内，同理可验证其他三个点不在平面α内.答案A4.(2017·西安月考)如图，F是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD的中点.E是BB1上一点，若D1F⊥DE，则有()A.B1E＝EBB.B1E＝2EBC.B1E＝EBD.E与B重合解析分别以DA，DC，DD1为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设正方形的边长为2，则D(0，0，0)，F(0，1，0)，D1(0，0，2)，设E(2，2，z)，D1F＝(0，1，－2)，DE＝(2，2，z)， D1F·DE＝0×2＋1×2－2z＝0，∴z＝1，∴B1E＝EB.答案A5.如图所示，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上说法正确的个数为()A.1B.2C.3D.4解析A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，∴A1M∥D1P，所以A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，A1M∥面DCC1D1，A1M∥面D1PQB1.①③④正确.答案C二、填空题6.(2017·武汉调研)已知平面α内的三点A(0，0，1)，B(0，1，0)，C(1，0，0)，平面β的一个法向量n＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________.解析设平面α的法向量为m＝(x，y，z)，由m·AB＝0，得x·0＋y－z＝0⇒y＝z，由m·AC＝0，得x－z＝0⇒x＝z，取x＝1，∴m＝(1，1，1)，m＝－n，∴m∥n，∴α∥β.答案α∥β7.(2016·青岛模拟)已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x＋y＝________.解析由条件得解得x＝，y＝－，z＝4，∴x＋y＝－＝.答案8.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1).对于结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的法向量；④AP∥BD.其中正确的序号是________.解析 AB·AP＝0，AD·AP＝0，∴AB⊥AP，AD⊥AP，则①②正确.又AB与AD不平行，∴AP是平面ABCD的法向量，则③正确.由于BD＝AD－AB＝(2，3，4)，AP＝(－1，2，－1)，∴BD与AP不平行，故④错误.答案①②③三、解答题9.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA＝AB＝PD.证明：平面PQC⊥平面DCQ.证明如图，以D为坐标原点，线段DA的长为单位长，射线DA，DP，DC分别为x轴，y轴，z轴的正半轴建立空间直角坐标系D－xyz.依题意有Q(1，1，0)，C(0，0，1)，P(0，2，0)，则DQ＝(1，1，0)，DC＝(0，0，1)，PQ＝(1，－1，0).∴PQ·DQ＝0，PQ·DC＝0.即PQ⊥DQ，PQ⊥DC，又DQ∩DC＝D，∴PQ⊥平面DCQ，又PQ⊂平面PQC，∴平面PQC⊥平面DCQ.10.(2017·郑州调研)如图所示，四棱锥P－ABCD的底面是边长为1的正方形，PA⊥CD，PA＝1，PD＝，E为PD上一点，PE＝2ED.(1)求证：PA⊥平面ABCD；(2)在侧棱PC上是否存在一点F，使得BF∥平面AEC？若存在，指出F点的位置，并证明；若不存在，说明理由.(1)证明 PA＝AD＝1，PD＝，∴PA2＋AD2＝PD2，即PA⊥AD.又PA⊥CD，AD∩CD＝D，∴PA⊥平面ABCD.(2)解以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系.则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，P(0，0，1)，E，AC＝(1，1，0)，AE＝.设平面AEC的法向量为n＝(x，y，z)，则即令y＝1，则n＝(－1，1，－2).假设侧棱PC上存在一点F，且CF＝λCP(0≤λ≤1)，使得BF∥平面AEC，则BF·n＝0.又 BF＝BC＋CF＝(0，1，0)＋(－λ，－λ，λ)＝(－λ，1－λ，λ)，∴BF·n＝λ＋1－λ－2λ＝0，∴λ＝，∴存...
